UESB 2018

Para encontrar a menor solução positiva da equação
\[\sen^{2}(2x)+2\sqrt{3}\,\sen(2x)\,\cos(2x)-\cos^{2}(2x)=0\]
seguimos os passos abaixo.

1. Transformação algébrica
Dividindo toda a expressão por \(\cos^{2}(2x)\, (\cos(2x)\neq 0)\):
\[\tan^{2}(2x)+2\sqrt{3}\,\tan(2x)-1=0.\]

2. Resolvendo a equação quadrática em \(t=\tan(2x)\)
\[t^{2}+2\sqrt{3}\,t-1=0\longrightarrow t=\frac{-2\sqrt{3}\pm\sqrt{\,12+4\,}}{2}= -\sqrt{3}\pm 2.\]
Logo,
\[\tan(2x)=2-\sqrt{3}\;\;(\approx0{,}2679)\quad\text{ou}\quad\tan(2x)=-(2+\sqrt{3}).\]

3. Obtendo os ângulos
• Para \(\tan(2x)=2-\sqrt{3}\Rightarrow 2x=\frac{\pi}{12}+k\pi\;\,(k\in\mathbb{Z}).\)
• Para \(\tan(2x)=-(2+\sqrt{3})\Rightarrow 2x=\frac{7\pi}{12}+k\pi.\)

4. Determinando \(x\)
Dividindo por 2:
\[x=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\quad\text{ou}\quad x=\frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}.\]
A menor solução positiva ocorre escolhendo \(k=0\) na primeira família:
\[x_{\min}=\frac{\pi}{24}.\]

5. Localizando o intervalo
Observemos os extremos dos intervalos propostos (em radianos):
\[\frac{\pi}{32}\approx0{,}03125\pi<\boxed{\frac{\pi}{24}\approx0{,}04167\pi}<\frac{\pi}{16}\approx0{,}0625\pi.\]
Assim, a menor solução positiva pertence ao intervalo
\[\Bigl[\tfrac{\pi}{32},\,\tfrac{\pi}{16}\Bigr[.\]

6. Resposta
Esse intervalo corresponde à alternativa B.