ENEM 2013 segunda aplicação

Vamos resolver a questão passo a passo, calculando as áreas das partes cinza, preta e branca da logomarca.

1. Entendimento da Geometria da Logomarca:

• A logomarca é um quadrado AEFG.
• O lado AE é dividido em 4 segmentos iguais: AB = BC = CD = DE. Vamos chamar o comprimento de cada segmento de x. Portanto, o lado do quadrado grande (S) é AE = 4x.
• A área total do quadrado AEFG é S² = (4x)² = 16x².
• Todos os ângulos agudos na figura medem 45º. Isso implica que as linhas internas são paralelas às diagonais do quadrado ou formam triângulos retângulos isósceles.

2. Cálculo da Área Cinza:

• As partes cinzas são dois triângulos retângulos isósceles nos cantos G e E.
• No canto E, temos o triângulo EDM (M sobre FE). Como o ângulo em E é 90º e os ângulos agudos são 45º, o triângulo é isósceles com DE = EM = x. A área é (1/2) * base * altura = (1/2) * x * x = x²/2.
• No canto G, temos um triângulo idêntico por simetria, com área também x²/2.
• A Área Cinza Total (A_cinza) é a soma das áreas dos dois triângulos: A_cinza = x²/2 + x²/2 = x².

3. Relação entre Área Cinza e Custo:

• O custo para pintar a área cinza é R\$ 320,00.
• Seja C o custo da tinta por unidade de área. Como o preço das tintas é o mesmo para todas as cores, temos: Custo(Cinza) = C * A_cinza = C * x² = 320.
• Isso nos dá uma relação base: C * x² = 320.

4. Cálculo da Área Branca:

• A área branca central é um quadrado rotacionado em 45º. Para calcular sua área, podemos determinar as coordenadas de seus vértices ou usar um método de subtração.
• Vamos usar coordenadas, definindo F=(0,0), E=(4x,0), A=(4x,4x), G=(0,4x).
• Os pontos de divisão em AE são E=(4x,0), D=(4x,x), C=(4x,2x), B=(4x,3x), A=(4x,4x).
• Os pontos correspondentes em AG são G=(0,4x), D'=(x,4x), C'=(2x,4x), B'=(3x,4x), A=(4x,4x).
• Os pontos correspondentes em FE são E=(4x,0), D''=(3x,0), C''=(2x,0), B'''=(x,0), F=(0,0).
• Os pontos correspondentes em GF são G=(0,4x), D'''=(0,3x), C'''=(0,2x), B''''=(0,x), F=(0,0).
• Os vértices do quadrado branco são formados pelas interseções das linhas de 45º que partem dos pontos C. Por exemplo, o vértice próximo a E é a interseção da linha que passa por C=(4x, 2x) com inclinação -1 (paralela a AF) e a linha que passa por C''=(2x, 0) com inclinação +1 (paralela a GE).
• Linha por C: y - 2x = -1(X - 4x) => y = -X + 6x.
• Linha por C'': y - 0 = 1(X - 2x) => y = X - 2x.
• Interseção: -X + 6x = X - 2x => 2X = 8x => X = 4x. y = 4x - 2x = 2x. Ponto (4x, 2x), que é o ponto C. Isso não está certo.
• Vamos recalcular os vértices do quadrado branco. Observando a figura e a simetria, os vértices do quadrado branco parecem ser os pontos (2x, x), (3x, 2x), (2x, 3x), (x, 2x). Este é um losango (quadrado rotacionado).
• Centro: (2x, 2x). Distância do centro a (2x, x) é x. Distância do centro a (3x, 2x) é x.
• Diagonal 1: de (2x, x) a (2x, 3x), comprimento 2x.
• Diagonal 2: de (x, 2x) a (3x, 2x), comprimento 2x.
• Área Branca (A_branca) = (Diagonal1 * Diagonal2) / 2 = (2x * 2x) / 2 = 2x².
• Revisão do Cálculo da Área Branca: Uma análise mais cuidadosa usando os vértices C=(4x,2x), C'=(2x,4x), C'''=(0,2x), C''=(2x,0) (usando F=(0,0)) mostra que eles formam um quadrado de lado \(\sqrt{(4x-2x)^2 + (2x-4x)^2} = \sqrt{(2x)^2 + (-2x)^2} = \sqrt{8x^2}\). A área deste quadrado branco é \((\sqrt{8x^2})^2 = 8x^2\). A_branca = 8x².

5. Cálculo da Área Preta:

• A Área Preta (A_preta) pode ser calculada subtraindo as áreas cinza e branca da área total.
• A_preta = Área Total - A_cinza - A_branca
• A_preta = 16x² - x² - 8x² = 7x².

6. Cálculo dos Custos:

• Temos as áreas em termos de x²: A_cinza = x², A_preta = 7x², A_branca = 8x².
• A relação de custo é C * x² = 320.
• Custo(Preta) = C * A_preta = C * (7x²) = 7 * (C * x²) = 7 * 320 = R\$ 2.240,00.
• Custo(Branca) = C * A_branca = C * (8x²) = 8 * (C * x²) = 8 * 320 = R\$ 2.560,00.

7. Conclusão:

• O custo para pintar as partes pretas é R\$ 2.240,00 e o custo para pintar as partes brancas é R\$ 2.560,00.
• Estes valores correspondem à alternativa E.

Nota Importante sobre a Alternativa Correta Oficial:

Embora a análise geométrica detalhada resulte na proporção de áreas Cinza:Preta:Branca como 1:7:8, levando à alternativa E (R\$ 2.240,00 e R\$ 2.560,00), é relatado que o gabarito oficial do Enem para esta questão indica a alternativa C (R\$ 960,00 e R\$ 1.280,00) como correta. Isso implicaria uma proporção de áreas de 1:3:4 (pois 960 = 3 * 320 e 1280 = 4 * 320). Não foi possível derivar geometricamente a proporção 1:3:4 a partir das informações e da figura fornecidas na questão, usando interpretações padrão. Há uma inconsistência entre a análise geométrica rigorosa e o gabarito oficial divulgado. Apresentamos a solução que segue a lógica matemática derivada da descrição do problema.