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UEG 2017/1
A inequação sen(x)cos(x) ≤ 0, no intervalo de 0 ≤ x ≤ \(2\pi\) e x real, possui conjunto solução
a
b
c
d
e
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Resposta
A
Resolução
Deseja-se resolver a inequação \(\sin x \cdot \cos x \le 0\) no intervalo \(0\le x\le 2\pi\).
1. Pontos onde o produto é nulo
O produto é zero se, e somente se, ao menos um dos fatores é zero:
- \(\sin x = 0 \Rightarrow x = 0,\ \pi,\ 2\pi\);
- \(\cos x = 0 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{3\pi}{2}.\)
2. Sinal de \(\sin x\) e \(\cos x\) em cada quadrante
| Intervalo | Quadrante | \(\sin x\) | \(\cos x\) | Produto |
|---|---|---|---|---|
| \(0<x<\tfrac{\pi}{2}\) | I | + | + | + |
| \(\tfrac{\pi}{2}<x<\pi\) | II | + | − | − |
| \(\pi<x<\tfrac{3\pi}{2}\) | III | − | − | + |
| \(\tfrac{3\pi}{2}<x<2\pi\) | IV | − | + | − |
3. Regiões onde \(\sin x \cdot \cos x < 0\)
O produto é negativo quando os sinais são opostos, ou seja, nos quadrantes II e IV:
- Quadrante II: \(\tfrac{\pi}{2} < x < \pi\);
- Quadrante IV: \(\tfrac{3\pi}{2} < x < 2\pi\).
4. União com os pontos em que o produto vale zero
Como a desigualdade é "\(\le 0\)", incluímos também os valores que zeram o produto:
\[ \boxed{\frac{\pi}{2}\;\le\;x\;\le\;\pi\;\;\text{ou}\;\;\frac{3\pi}{2}\;\le\;x\;\le\;2\pi} \]
Essa é exatamente a alternativa A.
Dicas
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Desenhe o círculo trigonométrico e marque onde sen(x)=0 e cos(x)=0.
Anote o sinal de cada função em cada quadrante.
Escolha os quadrantes em que os sinais são opostos e inclua os pontos onde o produto zera.
Erros Comuns
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Confundir em quais quadrantes o produto fica negativo.
Esquecer de incluir os pontos em que o produto é zero (\(\le 0\) e não \(<0\)).
Assumir que basta tomar onde \(\sin x\le0\) ou \(\cos x\le0\), sem considerar o produto.
Revisão
- Quadrantes trigonométricos: no círculo trigonométrico, o sinal de \(\sin x\) e \(\cos x\) muda a cada \(\tfrac{\pi}{2}\) radianos.
- Produto de sinais: o produto de dois números reais é ≤ 0 quando eles têm sinais opostos ou quando pelo menos um é zero.
- Inequações trigonométricas: dividem-se o intervalo em sub-intervalos onde a função mantém sinal constante, analisando e incluindo as raízes quando permitido.
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