ENEM 2021 segunda aplicação
A imagem representa uma calculadora científica com duas teclas destacadas. A tecla A eleva ao quadrado o número que está no visor da calculadora, e a tecla B extrai a raiz cúbica do número apresentado no visor.
Uma pessoa digitou o número 8 na calculadora e em seguida apertou três vezes a tecla A e depois uma vez a tecla B.
A expressão que representa corretamente o cálculo efetuado na calculadora é
\(\sqrt[2]{8^{3+3+3}}\)
\(\sqrt[3]{8^{2\times 2\times 2}}\)
\(\sqrt[2]{8^3+8^3+8^3}\)
\(\sqrt[3]{8^2+8^2+8^2}\)
\(\sqrt[3]{8^2\times8^2\times8^2}\)
Resolução
Vamos seguir passo a passo as operações realizadas na calculadora, começando com o número 8 no visor.
- Número inicial: 8
- Apertar a tecla A (1ª vez): A tecla A eleva o número no visor ao quadrado. Então, após apertar A pela primeira vez, o número no visor é \(8^2\).
- Apertar a tecla A (2ª vez): Agora, o número no visor é \(8^2\). Apertar A novamente eleva este novo número ao quadrado: \((8^2)^2\). Usando a propriedade de potência de potência \((a^m)^n = a^{m \times n}\), temos \(8^{2 \times 2} = 8^4\).
- Apertar a tecla A (3ª vez): O número no visor é \(8^4\). Apertar A pela terceira vez eleva este número ao quadrado: \((8^4)^2\). Usando novamente a propriedade de potência de potência, temos \(8^{4 \times 2} = 8^8\).
- Apertar a tecla B (1ª vez): O número atual no visor é \(8^8\). A tecla B extrai a raiz cúbica do número no visor. Portanto, o resultado final é \(\sqrt[3]{8^8}\).
Agora, precisamos encontrar a expressão que representa \(\sqrt[3]{8^8}\) entre as opções.
Analisando o resultado da aplicação da tecla A três vezes: \(((8^2)^2)^2\). Podemos reescrever isso usando a propriedade de potência de potência como \(8^{2 \times 2 \times 2}\).
Portanto, a sequência completa de operações (apertar A três vezes e depois B uma vez) resulta em:
\[\sqrt[3]{8^{2 \times 2 \times 2}}\]
Comparando com as opções fornecidas:
- A: \(\sqrt[2]{8^{3+3+3}}\) = \(\sqrt{8^9}\)
- B: \(\sqrt[3]{8^{2\times 2\times 2}}\) = \(\sqrt[3]{8^8}\)
- C: \(\sqrt[2]{8^3+8^3+8^3}\)
- D: \(\sqrt[3]{8^2+8^2+8^2}\)
- E: \(\sqrt[3]{8^2\times8^2\times8^2}\) = \(\sqrt[3]{8^{2+2+2}}\) = \(\sqrt[3]{8^6}\)
A expressão que corresponde ao nosso resultado é a da alternativa B.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é fundamental revisar os seguintes conceitos:
- Potenciação: Operação que representa a multiplicação repetida de um número (base) por si mesmo, um certo número de vezes (expoente). Ex: \(a^n = a \times a \times ... \times a\) (n vezes).
- Radiciação: Operação inversa da potenciação. A raiz n-ésima de um número x, denotada por \(\sqrt[n]{x}\), é um número y tal que \(y^n = x\). No problema, temos a raiz cúbica (n=3).
- Propriedade de Potência de Potência: Ao elevar uma potência a um novo expoente, mantemos a base e multiplicamos os expoentes: \((a^m)^n = a^{m \times n}\). Esta propriedade é crucial para entender o efeito de apertar a tecla A repetidamente.
- Propriedade de Multiplicação de Potências de Mesma Base: Ao multiplicar potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\). É importante não confundir esta propriedade com a de potência de potência.
Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.
