FAMERP 2016
A imagem indica o gráfico das funções 1 e 2, ambas definidas para x real e maior do que zero.
De acordo com o gráfico, as funções 1 e 2 podem ser, respectivamente,
y = 2 x-2 e y = 22x
y = √x -1 e y = √x + 1
y= log2 x e y = log2 4x
y = √x e y = √4x
Resolução
1. Reconhecendo o tipo de curva
Ambas as curvas apresentam:
- Assíntota vertical em x = 0 (o gráfico se aproxima do eixo y, mas nunca o toca).
- Crescimento lento para x > 0.
- Forma concava para baixo (diminui a inclinação à medida que x cresce).
Isso é característico de funções logarítmicas com base maior que 1.
2. Comparando as duas curvas
- No ponto x = 1 a função 1 (vermelha) parece estar em y = 0, enquanto a função 2 (verde) está em y = 2.
- Em x = 2 a função 1 está em y = 1 e a função 2 em y = 3.
- Em x = 8 a função 1 está em y = 3 e a função 2 em y = 5.
Observa-se que a diferença vertical entre as duas curvas é constante e vale 2 unidades.
3. Traduzindo para expressões algébricas
Se a função 1 é y = \log_{2} x, então
\[\log_{2}(4x)=\log_{2}4+\log_{2}x = 2 + \log_{2}x\]
Logo, y = \log_{2}(4x) é justamente a curva obtida ao transladar \log_{2}x 2 unidades para cima, coincidindo com a função 2 (verde).
4. Verificando as opções
Somente a alternativa D apresenta exatamente essas duas funções, nesta ordem:
função 1 : y = \log_{2}x
função 2 : y = \log_{2}4x
Resposta: D
Dicas
Erros Comuns
- Função logarítmica: para base a > 1, \(y = \log_{a}x\) é definida em \(x > 0\), possui assíntota vertical no eixo y, cruza o eixo x em \((1,0)\) e cresce lentamente.
- Translação vertical: somar uma constante k à expressão algébrica desloca todo o gráfico k unidades para cima.
- Propriedade do logaritmo: \(\log_{a}(bc)=\log_{a}b+\log_{a}c\). Assim, multiplicar o argumento por 4 resulta em acrescentar 2 ao valor do log (quando a base é 2).
