ITA 2019

Sejam:

• \(u_1\): distância objeto–espelho na 1ª situação.
• \(v_1\): distância imagem–espelho na 1ª situação.
• \(u_2=u_1-15\,\text{cm}\): nova distância objeto–espelho após deslocamento de \(15\,\text{cm}\) em direção ao espelho.
• \(v_2\): distância imagem–espelho na 2ª situação.
• \(f\): distância focal (mesma nas duas situações).

1. Relação de aumento (magnificação)

Para espelhos esféricos, o módulo do aumento linear é

\[ |m| = \left|\frac{v}{u}\right|. \]

Primeira situação: a imagem mede metade do objeto \((|m_1| = \tfrac12)\)

\[ |m_1| = \frac{|v_1|}{|u_1|} = \frac12 \;\Rightarrow\; v_1 = \frac{u_1}{2}. \]

Segunda situação: a imagem mede o dobro do objeto \((|m_2| = 2)\)

\[ |m_2| = \frac{|v_2|}{|u_2|} = 2 \;\Rightarrow\; v_2 = 2u_2. \]

2. Equação dos espelhos esféricos

\[ \frac1f = \frac1v + \frac1u. \]

Aplicando à 1ª situação:

\[ \frac1f = \frac1{v_1}+\frac1{u_1}=\frac1{u_1/2}+\frac1{u_1}=\frac{2}{u_1}+\frac1{u_1}=\frac3{u_1}. \]

Logo \(f=\dfrac{u_1}{3}.\)

Aplicando à 2ª situação:

\[ \frac1f = \frac1{v_2}+\frac1{u_2}=\frac1{2u_2}+\frac1{u_2}=\frac1{2u_2}+\frac2{2u_2}=\frac3{2u_2}. \]

Assim \(f=\dfrac{2u_2}{3}.\)

3. Igualando as distâncias focais

\[ \frac{u_1}{3}=\frac{2u_2}{3}\;\Rightarrow\; u_1=2u_2. \]

Mas \(u_2 = u_1 - 15\). Então:

\[ u_1 = 2(u_1-15) \;\Rightarrow\; u_1 = 2u_1 - 30 \;\Rightarrow\; u_1 = 30\,\text{cm}. \]

4. Cálculo de f

\[ f = \frac{u_1}{3}=\frac{30}{3}=10\,\text{cm}. \]

5. Resposta

\(f = 10\,\text{cm}\). A alternativa correta é D.