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Câmara de Bocaiúva 2022
A função f(x) = 1 + 3 sen(πx) tem conjunto imagem dado por Imf = [a, b] e o período p. É CORRETO afirmar que a expressão E = b - a + p é igual a
a
2.
b
4.
c
6.
d
8.
e
10.
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Resposta
D
Resolução
\(f(x)=1+3\,\sen(\pi x)\) é da forma \(y=a_0+A\,\sen(kx)\).
1. Imagem (intervalo [a,b])
• O seno varia entre −1 e 1.
• Multiplicando por 3: \(-3 \le 3\sen(\pi x) \le 3\).
• Somando 1: \(-2 \le 1+3\sen(\pi x) \le 4\).
Logo \(a=-2\) e \(b=4\).
2. Período
O seno básico \(\sen(t)\) tem período \(2\pi\).
Queremos \(\sen(\pi x)\): impomos
\[\pi(x+p)=\pi x+2\pi \Rightarrow \pi p=2\pi \Rightarrow p=2.\]
3. Expressão solicitada
\[E=b-a+p=4-(-2)+2=6+2=8.\]
Portanto, \(E=8\).
1. Imagem (intervalo [a,b])
• O seno varia entre −1 e 1.
• Multiplicando por 3: \(-3 \le 3\sen(\pi x) \le 3\).
• Somando 1: \(-2 \le 1+3\sen(\pi x) \le 4\).
Logo \(a=-2\) e \(b=4\).
2. Período
O seno básico \(\sen(t)\) tem período \(2\pi\).
Queremos \(\sen(\pi x)\): impomos
\[\pi(x+p)=\pi x+2\pi \Rightarrow \pi p=2\pi \Rightarrow p=2.\]
3. Expressão solicitada
\[E=b-a+p=4-(-2)+2=6+2=8.\]
Portanto, \(E=8\).
Dicas
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Qual é o valor máximo e mínimo de sen(πx)?
Qual é a fórmula do período de sen(kx)?
Depois de ter b−a e p, basta somar.
Erros Comuns
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Usar apenas a amplitude (3) em vez de b−a (6).
Calcular p como 4 achando que k=π/2.
Esquecer de somar o período após encontrar b−a.
Revisão
Amplitude e imagem de \(y=A\,\sen(kx)+C\)
• O seno puro varia em [−1,1].
• A imagem desloca-se para \([C-A,\,C+A]\).
Período de \(\sen(kx)\)
• Período básico do seno = \(2\pi\).
• Para \(\sen(kx)\) o período é \(\dfrac{2\pi}{k}\).
• O seno puro varia em [−1,1].
• A imagem desloca-se para \([C-A,\,C+A]\).
Período de \(\sen(kx)\)
• Período básico do seno = \(2\pi\).
• Para \(\sen(kx)\) o período é \(\dfrac{2\pi}{k}\).
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