Prefeitura de Joinville 2022
A fração geratriz da dízima periódica x = 1,1338338338 … é dada por
\(x=\ \frac{11327}{9990}\).
\(x\ =\ \frac{11327}{999}\).
\(x=\frac{1337}{999}\).
\(x=\frac{10327}{9990}\).
\(x=\frac{11027}{999}\) .
Resolução
Seja \(x=1,1338338338\ldots\)
A dízima possui:
- parte inteira: \(1\);
- parte não-periódica (antiperiódica) de 1 algarismo: \(1\);
- período de 3 algarismos: \(338\).
Escrevemos, então, \(x=1,1\overline{338}\).
1. Fórmula da fração geratriz
Para um número com \(m\) algarismos não-periódicos e \(n\) algarismos periódicos vale
\[x=\dfrac{\text{(inteiro + antiperiódica + periódica)}-\text{(inteiro + antiperiódica)}}{10^{m}\,(10^{n}-1)}\]
2. Substituindo os valores
• \(m=1\) (um algarismo “1”)
• \(n=3\) (período “338”)
\[\begin{aligned} \text{numerador}&=(1\cdot10^{1}+1)\cdot10^{3}+338-(1\cdot10^{1}+1)\\[2pt] &=11\cdot1000+338-11\\[2pt] &=11000+338-11\\[2pt] &=11327\\[4pt] \text{denominador}&=10^{1}\,(10^{3}-1)=10\cdot999=9990 \end{aligned}\]
\[x=\dfrac{11327}{9990}\]
O máximo divisor comum de \(11327\) e \(9990\) é 1, logo a fração já está irredutível.
Resposta: alternativa A.
Dicas
Erros Comuns
Dízima periódica
Número decimal em que um bloco de algarismos se repete indefinidamente após a vírgula.
Fração geratriz
É a fração exata que representa a dízima. Para obtê-la:
- Identificar a parte inteira, a parte não-periódica (com \(m\) algarismos) e o período (com \(n\) algarismos).
- Escrever dois números:
a) o formado pela parte inteira, a parte não-periódica e UMA ocorrência do período;
b) o formado apenas pela parte inteira e a parte não-periódica. - Subtrair (a) – (b) e dividir por \(10^{m}(10^{n}-1)\).
