ENEM 2009 (prova vazada)

O problema descreve uma situação de perspectiva fotográfica e pede a razão entre a distância da esfinge à câmera (\(b\)) e a distância da turista à câmera (\(a\)). A chave para resolver este problema é usar o conceito de semelhança de triângulos, tanto os formados pelos objetos reais e a lente da câmera quanto os formados pela imagem projetada dentro da câmera (ou na fotografia).

1. Identificar os Triângulos Semelhantes (Objetos Reais): O diagrama mostra dois triângulos retângulos com um vértice comum na lente da câmera: * Triângulo Menor (Turista): Base \(a\), Altura \(d\) (altura real da cabeça da turista). * Triângulo Maior (Esfinge): Base \(b\), Altura \(d'\) (altura real da cabeça da esfinge). Estes triângulos são semelhantes porque compartilham um ângulo agudo na lente da câmera e ambos têm um ângulo reto. Pela semelhança, a razão entre as alturas é igual à razão entre as bases: \[ \frac{\text{Altura do Menor}}{\text{Altura do Maior}} = \frac{\text{Base do Menor}}{\text{Base do Maior}} \] \[ \frac{d}{d'} = \frac{a}{b} \] Isso relaciona as dimensões reais e as distâncias, mas não utiliza a informação da fotografia ainda.

2. Incorporar a Informação da Fotografia: O texto informa que, na fotografia, a medida da cabeça da turista (vamos chamar de \(h_t\)) é \(2/3\) da medida da cabeça da esfinge (\(h_s\)). \[ h_t = \frac{2}{3} h_s \] O diagrama também mostra uma altura \(c\) relacionada à turista, posicionada perto da câmera. É razoável interpretar \(c\) como a altura da imagem da turista na fotografia (ou no sensor da câmera). Portanto, \(c = h_t\). A altura correspondente da imagem da esfinge seria \(h_s\). Assim, a relação dada é: \[ c = \frac{2}{3} h_s \implies h_s = \frac{3}{2} c \]

3. Relacionar Tamanho da Imagem, Tamanho Real e Distância: A altura da imagem formada por uma lente (ou câmera pinhole) é proporcional à altura real do objeto e inversamente proporcional à distância do objeto à lente. Usando a semelhança de triângulos entre o objeto e sua imagem (considerando uma distância focal \(f\) ou distância da lente ao plano da imagem): * Para a turista: \(\frac{c}{d} = \frac{f}{a} \implies a = f \frac{d}{c}\) * Para a esfinge: \(\frac{h_s}{d'} = \frac{f}{b} \implies b = f \frac{d'}{h_s}\)

4. Calcular a Razão \(b/a\): Agora podemos calcular a razão \(b/a\) usando as expressões encontradas: \[ \frac{b}{a} = \frac{f \frac{d'}{h_s}}{f \frac{d}{c}} = \frac{d'}{h_s} \times \frac{c}{d} = \frac{d' \cdot c}{h_s \cdot d} \] Sabemos que \(h_s = \frac{3}{2} c\). Substituindo isso na equação: \[ \frac{b}{a} = \frac{d' \cdot c}{\left(\frac{3}{2} c\right) \cdot d} = \frac{d' \cdot c}{\frac{3c \cdot d}{2}} = \frac{d' \cdot c \cdot 2}{3c \cdot d} \] Cancelando \(c\): \[ \frac{b}{a} = \frac{2d'}{3d} \]

5. Comparar com as Opções: O resultado obtido é \(\frac{b}{a} = \frac{2d'}{3d}\). Nenhuma das opções corresponde exatamente a isso. A opção D é \(\frac{b}{a} = \frac{2d'}{3c}\). As expressões \(\frac{2d'}{3d}\) e \(\frac{2d'}{3c}\) seriam iguais apenas se \(d=c\). No entanto, \(d\) é a altura real da cabeça da turista e \(c\) é a altura medida na fotografia, que são grandezas diferentes e não necessariamente iguais. É muito provável que haja um erro de digitação na opção D, onde o \(d\) no denominador foi substituído por \(c\). Assumindo que a intenção era que a opção D fosse \(\frac{2d'}{3d}\), esta seria a resposta correta baseada na derivação física e geométrica. Outra interpretação, menos provável mas que leva à opção D, é assumir que a variável \(c\) nas opções representa a variável \(d\) (altura real da turista). Nesse caso, a opção D se torna \(\frac{2d'}{3d}\), que é o resultado correto.

Portanto, considerando a alta probabilidade de um erro tipográfico na alternativa D, ou uma intenção confusa no uso da variável \(c\) nas opções, selecionamos a alternativa D como a mais provável resposta correta, entendendo que deveria ser \(2d'/3d\).