IFSulDeMinas 2014/1
A força gravitacional que atua sobre os corpos de massa m na superfície da Terra é devido à interação entre a sua massa e a massa M da Terra. Então, podemos concluir que, ao se afastar da superfície da Terra, a força gravitacional tende a ficar cada vez menor até que fique tão pequena que os corpos escapem da atração da Terra. A força de interação entre esses corpos é dada por Fg = GMm/d2, onde G é uma constante e d corresponde à distância da superfície até o centro da Terra. É CORRETO afirmar que a distância a qual o corpo deve estar do centro da Terra, para que essa força corresponda a 1/3 da força na superfície, é:
\(\sqrt{3}\) vezes.
2 vezes.
\(\sqrt{3}\) / 3 vezes.
1/3 vezes.
9 vezes.
Resolução
Seja \(R\) o raio da Terra, isto é, a distância do centro ao ponto na superfície onde o peso é medido normalmente.
Na superfície:
\[F_{\text{superf}} = \dfrac{G M m}{R^{2}}\]
Queremos determinar a distância \(d\) (medida também a partir do centro da Terra) para que a nova força gravitacional seja apenas \(\dfrac13\) da força na superfície:
\[F_d = \dfrac{1}{3}\,F_{\text{superf}}\]
Como \(F_d = \dfrac{G M m}{d^{2}}\), temos
\[\frac{G M m}{d^{2}} = \frac13\,\frac{G M m}{R^{2}}.\]
Cancelando o fator comum \(G M m\):
\[\frac1{d^{2}} = \frac1{3R^{2}}\quad\Longrightarrow\quad d^{2}=3R^{2} \quad\Longrightarrow\quad d = \sqrt3\,R.\]
Assim, a distância deve ser \(\sqrt3\) vezes maior que o raio da Terra (ou, de forma equivalente, \(\sqrt3\) vezes a distância centro–superfície).
Portanto, a alternativa correta é a A.
Dicas
Erros Comuns
Lei da Gravitação Universal
A força gravitacional entre dois corpos de massas \(M\) e \(m\), separados por uma distância \(d\) entre seus centros, é dada por
\[F = G\frac{M m}{d^{2}},\]
onde \(G\) é a constante universal da gravitação.
Dependência com \(d\)
A força decai com o quadrado inverso da distância. Se a distância aumenta por um fator \(k\), a força diminui por um fator \(k^{2}\):
\[F \propto \frac1{d^{2}}\quad\Rightarrow\quad \frac{F_2}{F_1}=\Bigl(\frac{d_1}{d_2}\Bigr)^{2}.\]
