FUVEST 2019
A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um paralelepípedo reto‐retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a
2,1 m3
2,3 m3
3,0 m3
4,2 m3
6,0 m3
Resolução
Passo a passo da solução:
1. Interpretação do problema: A questão pede o volume total de uma escada maciça com 20 degraus. Cada degrau tem formato de paralelepípedo reto-retângulo. A base de cada degrau mede 20 cm por 50 cm, e a altura de cada degrau (diferença de altura entre degraus consecutivos) é de 10 cm.
2. Visualização da estrutura: A escada é "maciça". Podemos imaginá-la como composta por colunas verticais empilhadas ou por camadas horizontais. Vamos usar a abordagem das colunas verticais, que representam a estrutura sólida atrás de cada degrau visível.
3. Volume de cada coluna: Considere a escada vista de lado. O primeiro degrau (o mais baixo) corresponde a uma coluna com base 20 cm x 50 cm e altura 10 cm. O segundo degrau corresponde a uma coluna com a mesma base (20 cm x 50 cm) mas altura 20 cm (vai do chão até o topo do segundo degrau). O terceiro degrau corresponde a uma coluna de mesma base e altura 30 cm, e assim por diante.
4. Cálculo do volume da i-ésima coluna (Vi): - Base da coluna (Área): \( A = 20 \text{ cm} \times 50 \text{ cm} = 1000 \text{ cm}^2 \) - Altura da i-ésima coluna (hi): A altura aumenta 10 cm a cada degrau. Para o degrau \(i\), a altura total desde o chão é \( h_i = i \times 10 \text{ cm} \). - Volume da i-ésima coluna: \( V_i = A \times h_i = 1000 \text{ cm}^2 \times (i \times 10 \text{ cm}) = 10000 \times i \text{ cm}^3 \).
5. Cálculo do volume total (Vtotal): O volume total da escada com 20 degraus é a soma dos volumes das 20 colunas: \( V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + \dots + V_{20} = \sum_{i=1}^{20} V_i \) \( V_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{20} (10000 \times i) \text{ cm}^3 \) \( V_{\text{total}} = 10000 \times \sum_{i=1}^{20} i \text{ cm}^3 \)
6. Soma dos primeiros 20 inteiros: A soma \( \sum_{i=1}^{n} i \) é a soma de uma progressão aritmética, dada pela fórmula \( \frac{n(n+1)}{2} \). Para \( n = 20 \): \( \sum_{i=1}^{20} i = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \times 21}{2} = 10 \times 21 = 210 \)
7. Substituição na fórmula do volume total: \( V_{\text{total}} = 10000 \times 210 \text{ cm}^3 = 2.100.000 \text{ cm}^3 \)
8. Conversão de unidades: As opções de resposta estão em metros cúbicos (m³). Precisamos converter cm³ para m³. Sabemos que \( 1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \). Portanto, \( 1 \text{ m}^3 = (100 \text{ cm})^3 = 1.000.000 \text{ cm}^3 \). \( V_{\text{total}} = \frac{2.100.000 \text{ cm}^3}{1.000.000 \text{ cm}^3/\text{m}^3} = 2,1 \text{ m}^3 \)
Conclusão: O volume da escada prolongada para 20 degraus será de 2,1 m³.
Dicas
Erros Comuns
Conceitos Fundamentais:
- Volume do Paralelepípedo Reto-Retângulo: O volume de um paralelepípedo reto-retângulo (ou bloco retangular) é calculado multiplicando-se suas três dimensões: comprimento, largura e altura. \( V = C \times L \times H \). No problema, a base é 20 cm x 50 cm, e a altura varia.
- Soma de uma Progressão Aritmética (PA): A sequência das alturas das colunas (10 cm, 20 cm, 30 cm, ...) forma uma PA. A soma dos \(n\) primeiros termos de uma PA pode ser calculada. Especificamente, a soma dos \(n\) primeiros inteiros positivos (1 + 2 + ... + n) é dada pela fórmula \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \).
- Conversão de Unidades de Volume: É crucial converter o volume de centímetros cúbicos (cm³) para metros cúbicos (m³) para corresponder às unidades das alternativas. Lembre-se que \( 1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \), logo \( 1 \text{ m}^3 = (100 \text{ cm})^3 = 1.000.000 \text{ cm}^3 \).
