ENEM 2014
A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. Acorda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.
Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima.
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função
$$f(x)=-\sqrt{2-x^2}$$
.$$f(x)=\sqrt{2-x^2}$$
$$f(x)=x^2-2$$
$$f(x)=-\sqrt{4-x^2}$$
$$(x)=\sqrt{4-x^2}$$
Resolução
Passo a Passo da Solução:
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Identificar a trajetória: A criança no balanço descreve um movimento pendular. Como a corda tem comprimento fixo (2 metros) e está presa em um ponto (topo do suporte), a trajetória do assento do balanço é um arco de circunferência.
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Definir o sistema de coordenadas: O problema estabelece um plano cartesiano onde:
- A origem (0, 0) está no topo do suporte.
- O eixo X é paralelo ao chão.
- O eixo Y tem orientação positiva para cima.
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Determinar a equação da circunferência:
- O centro da circunferência coincide com o ponto de fixação da corda, que é a origem (0, 0).
- O raio (r) da circunferência é o comprimento da corda, que é 2 metros.
- A equação geral de uma circunferência com centro em (h, k) e raio r é \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\).
- Substituindo h=0, k=0 e r=2, obtemos a equação da circunferência que contém a trajetória: \((x-0)^2 + (y-0)^2 = 2^2 \implies x^2 + y^2 = 4\).
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Isolar y para encontrar a função f(x): A questão pede a função \(f(x)\) que descreve a trajetória, ou seja, precisamos expressar y em termos de x.
\(x^2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 4 - x^2 \implies y = \pm \sqrt{4 - x^2}\) -
Escolher o sinal correto para y: O sistema de coordenadas tem a origem no topo do suporte e o eixo Y aponta para cima. Como o assento do balanço está sempre abaixo do ponto de suporte (a origem), suas coordenadas y devem ser negativas (ou zero, no caso limite que o problema exclui). Portanto, devemos escolher a raiz negativa.
\(y = f(x) = -\sqrt{4 - x^2}\) -
Verificar o domínio: Para que a raiz quadrada seja real, o radicando deve ser não negativo: \(4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2\). Isso corresponde ao intervalo horizontal coberto pela circunferência. Como a criança não alcança a posição horizontal, o domínio real da trajetória será um intervalo aberto contido em \((-2, 2)\), mas a função que *contém* a trajetória é definida em \([-2, 2]\) e é \(f(x) = -\sqrt{4 - x^2}\).
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Conclusão: A função que descreve a parte inferior da circunferência de raio 2 centrada na origem é \(f(x) = -\sqrt{4 - x^2}\).
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos
- Equação da Circunferência: Uma circunferência com centro no ponto \((h, k)\) e raio \(r\) tem equação \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\). Se o centro for a origem (0, 0), a equação simplifica para \(x^2 + y^2 = r^2\).
- Funções e Gráficos: Uma função \(y = f(x)\) associa cada valor de x (do domínio) a um único valor de y. O gráfico de uma circunferência completa não representa uma função \(y=f(x)\) porque para um mesmo x (exceto nas extremidades) existem dois valores de y. No entanto, podemos representar a semicircunferência superior (\(y = \sqrt{r^2 - x^2}\)) ou a inferior (\(y = -\sqrt{r^2 - x^2}\)) como funções.
- Sistema de Coordenadas Cartesianas: É fundamental entender como a posição da origem e a orientação dos eixo X e Y afetam as coordenadas dos pontos e a forma das equações. Neste caso, a origem no topo e o eixo Y para cima implicam que os pontos da trajetória do balanço terão coordenadas y negativas.
Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
