UEA Geral 2018
A figura mostra uma circunferência λ, de centro O, e um triângulo AOB, que tangencia a circunferência no ponto A.
Se senα = 1/2 e OA + OB = 9 cm, o comprimento da circunferência λ é igual a
12 π cm.
6 π cm.
8 π cm.
3 π cm.
9 π cm.
Resolução
Considere as seguintes informações extraídas da figura:
- O ponto A pertence à circunferência e o segmento AB é tangente em A.
- Consequentemente, o raio OA é perpendicular ao segmento tangente AB, formando um triângulo retângulo OAB com ângulo reto em A.
- O ângulo indicado na figura é o ângulo interno em B, designado por \(\alpha\), e vale \(\sin\alpha = \tfrac12\).
- Além disso, sabe-se que \(OA + OB = 9\,\text{cm}.\)
1. Relacionando seno e lados do triângulo
No triângulo retângulo, o sen de um ângulo é dado por
\[\sin\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.\]
Para o ângulo em B, o cateto oposto é OA e a hipotenusa é OB. Logo,
\[\frac{OA}{OB}=\frac12 \;\Longrightarrow\; OA = \frac{OB}{2}.\]
2. Usando a soma \(OA + OB = 9\)
Substituindo a relação obtida,
\[\frac{OB}{2}+OB = 9 \;\Longrightarrow\; \frac{3\,OB}{2}=9 \;\Longrightarrow\; OB = 6\,\text{cm}.\]
Consequentemente,
\[OA = \frac{OB}{2}=3\,\text{cm}.\]
3. Comprimento da circunferência
O raio da circunferência é precisamente \(OA\), portanto \(r=3\,\text{cm}.\)
\[C = 2\pi r = 2\pi\cdot 3 = 6\pi\,\text{cm}.\]
Assim, o comprimento da circunferência \(\lambda\) é \(6\pi\,\text{cm}\).
Alternativa correta: B.
Dicas
Erros Comuns
- Retas tangentes: o raio traçado até o ponto de tangência é perpendicular à reta tangente.
- Triângulo retângulo: em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
- Circunferência: o comprimento é dado por \(C=2\pi r\).
