PUC-SP Inverno 2017
A figura mostra um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa \(\overline{AC}\), com A(2,7), B(7,2) e C(k, k-5).
• Sabendo que a área do triângulo ABC é 15 cm2 , o valor da abscissa do ponto C é
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Resolução
Os dados do problema indicam:
- A(2,7)
- B(7,2)
- C(k,\,k-5)
- \(\overline{AC}\) é a hipotenusa ⇒ o ângulo reto está em B.
1. Verificar que \(\angle B\) é reto
Para confirmar, calculamos os coeficientes angulares dos segmentos \(\overline{AB}\) e \(\overline{BC}\).
\(m_{AB}=\dfrac{2-7}{7-2}=\dfrac{-5}{5}=-1\)
\(m_{BC}=\dfrac{(k-5)-2}{k-7}=\dfrac{k-7}{k-7}=1 \;(k\neq7)\)
Produto dos coeficientes: \((-1)\cdot1=-1\Rightarrow \overline{AB}\perp\overline{BC}.\) Logo, B é realmente o vértice do ângulo reto.
2. Comprimento dos catetos
Cateto \(AB\)
\[|AB|=\sqrt{(7-2)^2+(2-7)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt2\]
Cateto \(BC\)
\[|BC|=\sqrt{(k-7)^2+\big[(k-5)-2\big]^2}=\sqrt{(k-7)^2+(k-7)^2}=\sqrt{2(k-7)^2}=\sqrt2\,|k-7|\]
3. Área do triângulo
Em um triângulo retângulo, \(\text{Área}=\dfrac{\text{cateto}_1\cdot\text{cateto}_2}{2}\).
Assim,
\[15=\dfrac{|AB|\cdot|BC|}{2}=\dfrac{5\sqrt2\,(\sqrt2\,|k-7|)}{2}=\dfrac{5\cdot2\,|k-7|}{2}=5|k-7|\]
\[|k-7|=\dfrac{15}{5}=3\]
4. Soluções para k
\[k-7=\pm3\quad\Longrightarrow\quad k=10\text{ ou }k=4\]
O próprio enunciado (e a figura) indica que o ponto C está à direita de B, portanto sua abscissa deve ser maior que 7.
Logo,
\(k=10\)
Portanto, a abscissa de C é 10.
Alternativa correta: C.
Dicas
Erros Comuns
- Coordenadas e distância: A distância entre \((x_1,y_1)\) e \((x_2,y_2)\) é \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
- Coeficiente angular e perpendicularidade: Se \(m_1m_2=-1\), as retas são perpendiculares.
- Área de triângulo retângulo: \(\text{Área}=\dfrac{\text{cateto}_1\cdot \text{cateto}_2}{2}\).
- Valor absoluto: Ao extrair raízes de distâncias, usa-se \(|\,\cdot\,|\) para garantir positividade.
