INSPER Tarde 2014/1
A figura mostra um tabuleiro de um jogo Batalha Naval, em que André representou Três navios nas posições dadas pelas coordenadas B2, B14 e M3. Cada navio está identificado por um quadrado sombreado.
André deseja instalar uma base em um quadrado do tabuleiro cujo centro fique equidistante dos centros dos Três quadrados onde foram posicionados os navios. Para isso, a base deverá estar localizada no quadrado de coordenadas
G8.
G9.
H8.
H9.
H10.
Resolução
O problema pede para encontrar as coordenadas de um ponto (base) que seja equidistante dos centros de três outros pontos (navios) localizados em um tabuleiro de Batalha Naval. Os navios estão nas posições B2, B14 e M3. O ponto equidistante de três pontos não colineares é o circuncentro do triângulo formado por esses pontos.
Primeiro, vamos converter as coordenadas do tabuleiro para coordenadas cartesianas (x, y). Podemos associar as colunas (números 1 a 15) ao eixo x e as linhas (letras A a O) ao eixo y. É comum associar A=1, B=2, ..., M=13, N=14, O=15.
- Navio 1 (N1): B2 → Linha B (y=2), Coluna 2 (x=2). Coordenadas: \(P_1 = (2, 2)\)
- Navio 2 (N2): B14 → Linha B (y=2), Coluna 14 (x=14). Coordenadas: \(P_2 = (14, 2)\)
- Navio 3 (N3): M3 → Linha M (y=13), Coluna 3 (x=3). Coordenadas: \(P_3 = (3, 13)\)
O circuncentro é o ponto de interseção das mediatrizes dos lados do triângulo \(P_1P_2P_3\). A mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a ele que passa pelo seu ponto médio.
1. Mediatriz do lado \(P_1P_2\):
- Pontos: \(P_1 = (2, 2)\) e \(P_2 = (14, 2)\).
- Este segmento é horizontal (mesma coordenada y).
- Ponto médio \(M_{12}\): \( M_{12} = \left( \frac{2+14}{2}, \frac{2+2}{2} \right) = \left( \frac{16}{2}, \frac{4}{2} \right) = (8, 2) \).
- A mediatriz de um segmento horizontal é uma reta vertical que passa pelo ponto médio.
- Equação da mediatriz 1: \( x = 8 \).
2. Mediatriz do lado \(P_1P_3\):
- Pontos: \(P_1 = (2, 2)\) e \(P_3 = (3, 13)\).
- Ponto médio \(M_{13}\): \( M_{13} = \left( \frac{2+3}{2}, \frac{2+13}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{15}{2} \right) = (2.5, 7.5) \).
- Coeficiente angular (inclinação) do segmento \(P_1P_3\): \( m_{13} = \frac{13 - 2}{3 - 2} = \frac{11}{1} = 11 \).
- O coeficiente angular da mediatriz (perpendicular a \(P_1P_3\)) é \( m_{\perp 13} = -\frac{1}{m_{13}} = -\frac{1}{11} \).
- Equação da mediatriz 2 (usando a forma ponto-inclinação \(y - y_0 = m(x - x_0)\)): \( y - 7.5 = -\frac{1}{11}(x - 2.5) \).
3. Mediatriz do lado \(P_2P_3\):
- Pontos: \(P_2 = (14, 2)\) e \(P_3 = (3, 13)\).
- Ponto médio \(M_{23}\): \( M_{23} = \left( \frac{14+3}{2}, \frac{2+13}{2} \right) = \left( \frac{17}{2}, \frac{15}{2} \right) = (8.5, 7.5) \).
- Coeficiente angular (inclinação) do segmento \(P_2P_3\): \( m_{23} = \frac{13 - 2}{3 - 14} = \frac{11}{-11} = -1 \).
- O coeficiente angular da mediatriz (perpendicular a \(P_2P_3\)) é \( m_{\perp 23} = -\frac{1}{m_{23}} = -\frac{1}{-1} = 1 \).
- Equação da mediatriz 3: \( y - 7.5 = 1(x - 8.5) \) \(\Rightarrow\) \( y = x - 8.5 + 7.5 \) \(\Rightarrow\) \( y = x - 1 \).
Para encontrar o circuncentro (C), precisamos encontrar a interseção de duas mediatrizes. Vamos usar a mediatriz 1 (\(x=8\)) e a mediatriz 3 (\(y=x-1\)).
- Substitua \(x=8\) na equação \(y = x - 1\):
- \( y = 8 - 1 \)
- \( y = 7 \)
O circuncentro tem coordenadas cartesianas \(C = (8, 7)\).
Agora, precisamos converter essas coordenadas de volta para o formato do tabuleiro:
- x = 8 corresponde à Coluna 8.
- y = 7 corresponde à Linha G (A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7).
Portanto, a base deve ser instalada no quadrado de coordenadas G8.
Verificação (opcional):
Podemos verificar se o ponto (8, 7) também satisfaz a equação da mediatriz 2:
- \( y - 7.5 = -\frac{1}{11}(x - 2.5) \)
- \( 7 - 7.5 = -\frac{1}{11}(8 - 2.5) \)
- \( -0.5 = -\frac{1}{11}(5.5) \)
- \( -0.5 = -\frac{5.5}{11} \)
- \( -0.5 = -0.5 \). A equação é satisfeita.
Também podemos calcular as distâncias (ao quadrado, para simplificar) do ponto C=(8, 7) aos três navios:
- Distância \(C\) a \(P_1(2, 2)\): \( d^2 = (8-2)^2 + (7-2)^2 = 6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61 \)
- Distância \(C\) a \(P_2(14, 2)\): \( d^2 = (8-14)^2 + (7-2)^2 = (-6)^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61 \)
- Distância \(C\) a \(P_3(3, 13)\): \( d^2 = (8-3)^2 + (7-13)^2 = 5^2 + (-6)^2 = 25 + 36 = 61 \)
As distâncias são iguais, confirmando que (8, 7) é o ponto equidistante.
A coordenada correspondente no tabuleiro é G8.
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos Fundamentais:
- Coordenadas Cartesianas: Um sistema para localizar pontos em um plano usando um par de números (x, y) relativos a dois eixos perpendiculares (eixo x e eixo y). No problema, o tabuleiro é mapeado para um plano cartesiano.
- Ponto Médio de um Segmento: O ponto que divide um segmento de reta em duas partes iguais. Dadas as coordenadas \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\), o ponto médio \(M\) é \( M = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \).
- Coeficiente Angular (Inclinação) de uma Reta: Mede a inclinação de uma reta. Dado por \( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
- Retas Perpendiculares: Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for -1 (\(m_1 \cdot m_2 = -1\)), ou se uma for horizontal (m=0) e a outra vertical (m indefinido). O coeficiente angular de uma reta perpendicular a outra com inclinação \(m\) é \(-\frac{1}{m}\).
- Mediatriz de um Segmento: Reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio. Todos os pontos na mediatriz são equidistantes das extremidades do segmento.
- Circuncentro de um Triângulo: Ponto de interseção das três mediatrizes dos lados do triângulo. É o centro da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo e, por definição, é equidistante dos três vértices.
- Equação da Reta: Pode ser representada de várias formas, como a forma ponto-inclinação: \(y - y_0 = m(x - x_0)\), onde \((x_0, y_0)\) é um ponto na reta e \(m\) é o coeficiente angular.
