IME 2018
A figura mostra um circuito montado sob um plano inclinado feito de material condutor ideal, sem atrito de ângulo α com a horizontal. Um corpo é liberado do ponto A e, à medida que passa pelos sensores localizados nos pontos 1, 2, 3 e 4, as chaves Ch1, Ch2, Ch3 e Ch4 são fechadas instantaneamente.
Diante do exposto, a energia elétrica dissipada durante a descida do corpo até o ponto B, em joules, é:
Dados:
• R1 = 10 Ω;
• R2 = 10 Ω;
• R3 = 5 Ω;
• R4 = 2,5 Ω;
• E = 10 V;
• α = 30º; e
• g = 10 m/s2.
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Resolução
1. Resumo dos dados do problema
- Resistores: \(R_1=10\;\Omega\), \(R_2=10\;\Omega\), \(R_3=5\;\Omega\), \(R_4=2,5\;\Omega\)
- Fornecimento: \(E = 10\;\text{V}\)
- Ângulo do plano: \(\alpha = 30^{\circ}\)
- Gravidade: \(g = 10\;\text{m/s}^2\)
- Distâncias ao longo do plano (em m): \(A\to1=10\), \(1\to2=6{,}9\), \(2\to3=5{,}6\), \(3\to4=6{,}4\), \(4\to B =7{,}2\)
2. Aceleração do corpo no plano
Sem atrito, a componente da gravidade que atua ao longo do plano é
\[a = g\,\sin\alpha = 10\cdot\sin 30^{\circ}=5\;\text{m/s}^2.\]3. Instantes em que cada sensor é acionado
Para MRUA, \(s=\tfrac12 a t^{2}\;\Rightarrow\; t = \sqrt{\dfrac{2s}{a}} = \sqrt{0{,}4\,s}.\)
| Ponto | Distância acumulada (m) | Tempo (s) |
|---|---|---|
| Sensor 1 | 10 | \(t_1=2{,}000\) |
| Sensor 2 | 16,9 | \(t_2=2{,}598\) |
| Sensor 3 | 22,5 | \(t_3=3,000\) |
| Sensor 4 | 28,9 | \(t_4=3,399\) |
| B | 36,1 | \(t_B=3,799\) |
Intervalos entre disparos:
- \(\Delta t_1 = t_2-t_1 = 0,598\;\text{s}\)
- \(\Delta t_2 = t_3-t_2 = 0,402\;\text{s}\)
- \(\Delta t_3 = t_4-t_3 = 0,399\;\text{s}\)
- \(\Delta t_4 = t_B-t_4 = 0,400\;\text{s}\)
4. Circuito equivalente em cada intervalo
| Intervalo | Resistores ativos | \(R_{eq}\; (\Omega)\) | Potência \(P=E^{2}/R_{eq}\; (\text{W})\) |
|---|---|---|---|
| 1 (1 → 2) | R1 | 10 | 10 |
| 2 (2 → 3) | R1∥R2 | 5 | 20 |
| 3 (3 → 4) | R1∥R2∥R3 | 2,5 | 40 |
| 4 (4 → B) | R1∥R2∥R3∥R4 | 1,25 | 80 |
5. Energia dissipada em cada intervalo
\[ E_i = P_i\,\Delta t_i \]- \(E_1 = 10\times0{,}598 \approx 5,98\;\text{J}\)
- \(E_2 = 20\times0{,}402 \approx 8,04\;\text{J}\)
- \(E_3 = 40\times0{,}399 \approx 15,96\;\text{J}\)
- \(E_4 = 80\times0{,}400 \approx 32,0\;\text{J}\)
6. Energia total
\[ E_{tot}=5,98+8,04+15,96+32,0\approx62\;\text{J}. \]Resposta: 62 J (alternativa D).
Dicas
Erros Comuns
Cinemática em plano inclinado (MRUA)
- Corpo parte do repouso → \(s = \tfrac12 a t^{2}\).
- Aceleração: \(a=g\sin\alpha\).
Associação de resistores em paralelo
Para resistores em paralelo vale \(\dfrac1{R_{eq}} = \sum \dfrac1{R_i}\).
Potência elétrica dissipada
- Com tensão fixa: \(P = \dfrac{V^{2}}{R_{eq}}\).
- Energia em um intervalo de tempo: \(E = P\,\Delta t\).
