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OBMEP 2012
A figura mostra parte de uma tira retangular de papel dividida em quadradinhos numerados a partir de 1. Quando essa tira é dobrada ao meio, o quadradinho com o número 19 fica em cima do que tem o número 6. Quantos são os quadradinhos?
a
24
b
25
c
26
d
27
e
28
Ver resposta
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Resposta
A
Resolução
Ao dobrar a tira exatamente ao meio, cada quadradinho da primeira metade se sobrepõe ao quadradinho que ocupa a mesma distância a partir da outra extremidade. Assim, se os quadradinhos i e j se coincidem após a dobra, então
\[i + j = N + 1,\]
onde \(N\) é o número total de quadradinhos.
No problema, o quadradinho 19 cai sobre o 6. Portanto,
\[19 + 6 = N + 1.\]
Calculando,
\[25 = N + 1 \;\Longrightarrow\; N = 24.\]
Logo, a tira contém 24 quadradinhos.
Dicas
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Quando dobramos ao meio, cada quadrado encosta em outro que está à mesma distância do centro.
Quais números se somam para o mesmo valor em uma lista de 1 a N?
Escreva a equação 19 + 6 = N + 1.
Erros Comuns
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Esquecer que, após a dobra, os índices devem somar N+1.
Assumir que 19 – 6 = 13 representa metade da tira.
Escolher N ímpar, ignorando que a dobra exata requer número par de quadrados.
Revisão
- Simetria por dobra ao meio: ao dobrar um segmento de comprimento discreto em duas partes iguais, as posições emparelhadas somam sempre o mesmo valor.
- Somas complementares: para uma sequência de 1 a \(N\), os índices complementares relativos aos extremos satisfazem \(i + j = N + 1\).
- Paridade de \(N\): a dobra exata exige que o número total de quadradinhos seja par, caso contrário haveria um quadradinho central sem par.
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