FMJ Caderno 2 2018

Para facilitar os cálculos, vamos posicionar o triângulo ABC em um plano cartesiano.

1 – Colocando o triângulo ABC no plano

• Seja B = (0,0).
• Como \(\overline{AB}\) é horizontal, tome A = (-15,0) (pois \(AB = 15\,\text{cm}\)).
• Como \(\overline{BC}\) é vertical, tome C = (0,5\sqrt3). (Explicação: no triângulo 30–60–90, \(BC=\tfrac12 AC\) e \(AB=\tfrac{\sqrt3}{2}AC\). Como \(AB = 15\), segue \(AC = 10\sqrt3\) e \(BC = 5\sqrt3\)).

2 – Coordenadas de F e E

Sobre a base \(\overline{AB}\):

• \(BF = 3\,\text{cm}\Rightarrow F = (-3,0)\).

O ponto E pertence a \(\overline{BC}\) (x = 0) e \(FE = 6\,\text{cm}\). Logo, se E = (0,y):

\[FE^2 = (0+3)^2 + (y-0)^2 = 6^2 \Rightarrow 9 + y^2 = 36 \Rightarrow y^2 = 27 \;\Rightarrow\; y = 3\sqrt3.\]

Assim, E = (0,3\sqrt3).

3 – Encontrando D usando a condição de perpendicularidade

D está em \(\overline{AC}\). Parametrizando \(AC\):

\[D(s) = A + s\,(C-A) = (-15,0) + s\,(15,5\sqrt3)=(-15+15s,5\sqrt3 s),\; 0\le s\le1.\]

Em \(\triangle DEF\) o ângulo reto está em F, logo \(\overline{FD}\perp\overline{FE}.\) O vetor

\[\overrightarrow{FE} = (3,3\sqrt3), \quad \overrightarrow{FD} = D-F = (-15+15s+3,5\sqrt3 s) = (-12+15s,5\sqrt3 s).\]

Impondo produto escalar nulo:

\[ ( -12+15s)\cdot3 + (5\sqrt3 s)\cdot(3\sqrt3)=0 \;\Rightarrow\; -36+45s + 45s = 0\;\Rightarrow\; 90s = 36\;\Rightarrow\; s = \frac25. \]

Portanto

\[D = \bigl(-15+15\cdot\tfrac25\,,\;5\sqrt3\cdot\tfrac25\bigr)=(-9,2\sqrt3).\]

4 – Cálculo dos lados DF e FE

Já temos \(FE = 6\,\text{cm}.\)

Para \(DF\):

\[ DF^2 = (-9+3)^2 + (2\sqrt3-0)^2 = (-6)^2 + (2\sqrt3)^2 = 36 + 12 = 48\;\Rightarrow\; DF = 4\sqrt3\,\text{cm}. \]

5 – Área de \(\triangle DEF\)

\[ A = \frac12\,\bigl(DF\cdot FE\bigr) = \tfrac12\,(4\sqrt3)\,(6) = 12\sqrt3\;\text{cm}^2. \]

Resposta: \(\boxed{12\sqrt3\text{ cm}^2}\)