ENEM 2016 terceira aplicação
A figura mostra a pirâmide de Queops, também conhecida como a Grande Pirâmide. Esse e o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem da Antiguidade. Possui aproximadamente 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesando em média 2,5 toneladas. Considere que a pirâmide de Queops seja regular, sua base seja um quadrado com lados medindo 214 m, as faces laterais sejam triângulos isósceles congruentes e suas arestas laterais meçam 204 m.
O valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops, em metro, é
97,0.
136,8.
173,7.
189,3.
240,0.
Resolução
Para encontrar a altura da pirâmide de Quéops, precisamos usar as informações fornecidas sobre sua geometria. A questão afirma que a pirâmide é regular, tem base quadrada com lado \(s = 214\) m e aresta lateral \(L = 204\) m.
Em uma pirâmide regular de base quadrada, a altura (h) é o segmento de reta que liga o vértice da pirâmide ao centro da base quadrada, formando um ângulo reto com a base.
Podemos visualizar um triângulo retângulo dentro da pirâmide. Os vértices desse triângulo são: o vértice da pirâmide, o centro da base e um dos vértices da base. Neste triângulo:
- A hipotenusa é a aresta lateral (L).
- Um cateto é a altura da pirâmide (h).
- O outro cateto é a metade da diagonal da base quadrada (d/2).
Passo 1: Calcular a diagonal da base (d).
A base é um quadrado de lado \(s = 214\) m. A diagonal \(d\) de um quadrado pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras na base ou pela fórmula \(d = s\sqrt{2}\).
Usando a fórmula:
\[d = 214 \sqrt{2} \text{ m}\]
Passo 2: Calcular a metade da diagonal da base (d/2).
\[ \frac{d}{2} = \frac{214 \sqrt{2}}{2} = 107 \sqrt{2} \text{ m} \]
Passo 3: Aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo interno.
O Teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. No nosso caso:
\[ h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = L^2 \]
Substituindo os valores conhecidos (\(L = 204\) e \(d/2 = 107\sqrt{2}\)):
\[ h^2 + (107\sqrt{2})^2 = 204^2 \]
Calculando os quadrados:
\[ (107\sqrt{2})^2 = 107^2 \times (\sqrt{2})^2 = 11449 \times 2 = 22898 \]
\[ 204^2 = 41616 \]
Substituindo de volta na equação:
\[ h^2 + 22898 = 41616 \]
Isolando \(h^2\):
\[ h^2 = 41616 - 22898 \]
\[ h^2 = 18718 \]
Passo 4: Calcular a altura (h).
Para encontrar \(h\), calculamos a raiz quadrada de 18718:
\[ h = \sqrt{18718} \]
Podemos estimar o valor. Sabemos que \(130^2 = 16900\) e \(140^2 = 19600\). O valor de \(h\) está entre 130 e 140. Vamos testar valores próximos:
\[ 136^2 = 18496 \]
\[ 137^2 = 18769 \]
Como 18718 está muito próximo de 18769, o valor de \(h\) é ligeiramente menor que 137. Calculando a raiz com mais precisão:
\[ h \approx 136,81 \text{ m} \]
Passo 5: Comparar com as opções.
O valor calculado, \(h \approx 136,81\) m, é mais próximo da opção B (136,8).
Portanto, o valor mais aproximado para a altura da pirâmide de Quéops é 136,8 m.
Dicas
Erros Comuns
Pirâmide Regular de Base Quadrada: Uma pirâmide onde a base é um polígono regular (neste caso, um quadrado) e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. A altura da pirâmide é o segmento perpendicular que liga o vértice ao centro da base.
Diagonal de um Quadrado: Em um quadrado de lado \(s\), a diagonal \(d\) pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras (\(d^2 = s^2 + s^2\)) ou pela fórmula \(d = s\sqrt{2}\).
Teorema de Pitágoras: Em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos (lados que formam o ângulo reto) é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). Fórmula: \(a^2 + b^2 = c^2\), onde \(a\) e \(b\) são os catetos e \(c\) é a hipotenusa.
Relações Métricas na Pirâmide Regular: A altura (h), a metade da diagonal da base (d/2) e a aresta lateral (L) formam um triângulo retângulo dentro da pirâmide, com a aresta lateral como hipotenusa: \(h^2 + (d/2)^2 = L^2\). Outro triângulo retângulo importante é formado pela altura (h), o apótema da base (metade do lado, s/2, para base quadrada) e o apótema da pirâmide (altura da face lateral, \(a_p\)), com o apótema da pirâmide como hipotenusa: \(h^2 + (s/2)^2 = a_p^2\).
