OBMEP 2016

Seis triângulos congruentes, de lados 3 cm, 7 cm e 8 cm, foram justapostos para formar a estrela. O segredo é descobrir quais lados ficam colados e quais aparecem no contorno.

1. Qual lado permite unir 6 triângulos em torno de um ponto?

Com a lei dos cossenos, calculamos o ângulo oposto a cada lado:

• oposto a 3 cm: \(\alpha\approx21{,}8^{\circ}\)
• oposto a 7 cm: \(\beta=60^{\circ}\)
• oposto a 8 cm: \(\gamma\approx98{,}2^{\circ}\)

Como \(6\times60^{\circ}=360^{\circ}\), o ângulo de 60° (oposto ao lado 7 cm) é o que permite encaixar exatamente 6 triângulos em torno do centro da figura, reproduzindo o desenho.

2. Onde ocorre a sobreposição?

Cada triângulo tem o lado de 3 cm voltado para fora, cobrindo 3 cm do lado de 8 cm do triângulo vizinho. Portanto:

• os 6 lados de 3 cm ficam totalmente escondidos (interiores);
• de cada lado de 8 cm, apenas 8 – 3 = 5 cm permanecem à vista;
• os 6 lados de 7 cm ficam completamente livres.

3. Perímetro da estrela

Ao todo aparecem:

• 6 segmentos de 7 cm → soma = \(6\times7=42\;\text{cm}\);
• 6 segmentos de 5 cm → soma = \(6\times5=30\;\text{cm}\).

Logo, o perímetro é

\[ P = 42\;\text{cm} + 30\;\text{cm} = 72\;\text{cm}. \]

Portanto, a alternativa correta é C) 72 cm.