UnB 2017

A figura acima mostra um alvo para o jogo de dardos formado por um quadrado, de lado 80 cm, contendo cinco círculos concêntricos, de raios iguais a 2 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm e 25 cm. Na figura, foi inserido um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, com a origem no centro do quadrado. A forma de pontuar implicou na divisão do quadrado em seis regiões disjuntas, tal que as pontuações são atribuídas de acordo com a tabela a seguir. A pontuação atribuída em uma jogada, que consiste no arremesso de 3 dardos, é a soma da pontuação obtida com o arremesso de cada dardo. A probabilidade de o dardo acertar determinada região do quadrado é diretamente proporcional à área dessa região.

Tendo como referência essas informações e considerando que todo dardo lançado sempre atingirá algum ponto do quadrado, julgue o item.

Se, em uma jogada, os três dardos lançados acertaram a região definida por 3 < x² + y²≤ 25, então a pontuação obtida foi superior a 100.

Certa

Errada

Ver resposta

Resposta

Resolução

Para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa precisamos analisar qual pontuação é atribuída a um dardo que cai em qualquer ponto da região \(3 < x^{2}+y^{2}\le 25\). 1. A pontuação depende apenas do valor de \(x^{2}+y^{2}\): • 100 pontos se \(x^{2}+y^{2}\le4\);
• 60 pontos se \(4< x^{2}+y^{2}\le100\). (demais faixas não interessam porque o limite superior do enunciado é 25). 2. Comparando com a região indicada: • Para \(3< x^{2}+y^{2}\le4\) o dardo rende 100 pontos.
• Para \(4< x^{2}+y^{2}\le25\) o dardo rende 60 pontos. Logo, qualquer dardo que caia nesse anel receberá **60 ou 100 pontos**, jamais mais de 100. Como a afirmação diz que, nessa situação, “a pontuação obtida foi **superior a 100**”, vemos que isso é impossível: a pontuação individual não ultrapassa 100 e pode, inclusive, ser apenas 60. Portanto, o item está **Errado**.

Dicas

Compare os limites 3 e 25 com os limites de pontuação da tabela.

Lembre-se de que 100 é a pontuação máxima possível para um único dardo.

Repare que 60 < 100; basta um dardo cair na parte onde vale 60 para que a afirmação seja falsa.

Erros Comuns

Assumir que a expressão “pontuação obtida” refere-se automaticamente à soma dos três dardos, quando o texto não especifica isso.

Desconsiderar que a região 3 < x²+y² ≤ 25 inclui valores acima de 4, que rendem só 60 pontos.

Revisão

• Circunferência em coordenadas cartesianas: pontos que satisfazem \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\). • Regiões anulares: intervalos para \(x^{2}+y^{2}\) determinam faixas de pontuação. • Interpretação de enunciado: distinguir entre pontuação máxima possível e condição “superior a 100”.

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