UnB 2017
A figura acima mostra um alvo para o jogo de dardos formado por um quadrado, de lado 80 cm, contendo cinco círculos concêntricos, de raios iguais a 2 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm e 25 cm. Na figura, foi inserido um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, com a origem no centro do quadrado. A forma de pontuar implicou na divisão do quadrado em seis regiões disjuntas, tal que as pontuações são atribuídas de acordo com a tabela a seguir. A pontuação atribuída em uma jogada, que consiste no arremesso de 3 dardos, é a soma da pontuação obtida com o arremesso de cada dardo. A probabilidade de o dardo acertar determinada região do quadrado é diretamente proporcional à área dessa região.
Tendo como referência essas informações e considerando que todo dardo lançado sempre atingirá algum ponto do quadrado, julgue o item.
A probabilidade de uma pessoa somar 300 pontos em uma jogada é igual a π3 /406.
Certa
Errada
Resolução
Para obter 300 pontos é necessário que os três dardos atinjam a região que vale 100 pontos. Não existe outra combinação possível de 3 números da sequência \(\{100,60,50,20,10,0\}\) cuja soma seja 300.
1. Probabilidade de um único dardo acertar 100 pontos
• Área do quadrado-alvo:
\[A_{\text{quad}} = 80\;\text{cm}\times 80\;\text{cm}=6\,400\;\text{cm}^2.\]
• Área do círculo central (raio 2 cm):
\[A_{100}=\pi\cdot2^2=4\pi.\]
Como a probabilidade é proporcional à área e o espaço amostral é todo o quadrado,
\[P(100)=\frac{A_{100}}{A_{\text{quad}}}=\frac{4\pi}{6\,400}=\frac{\pi}{1 600}.\]
2. Probabilidade dos três dardos marcarem 100
Os lançamentos são independentes, logo
\[P(\text{300 pontos})=\bigl(P(100)\bigr)^3=\left(\frac{\pi}{1 600}\right)^3=\frac{\pi^3}{1 600^3}.\]
Observação algebraica:
\[1 600 = 40^2\quad\Longrightarrow\quad1 600^3=(40^2)^3=40^6.\]
Portanto
\[P(\text{300 pontos})=\frac{\pi^3}{40^6}.\]
3. Conclusão do item
A expressão apresentada no item coincide exatamente com o valor calculado. Assim, a afirmação é CERTA.
Dicas
Erros Comuns
- Área de círculo: \(A=\pi r^2\).
- Probabilidade geométrica: quando a chance é proporcional à área, \(P=\dfrac{\text{área favorável}}{\text{área total}}\).
- Independência: para eventos independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais.
- Potência de potência: \((a^b)^c=a^{bc}\).
