UnB 2017
A figura acima mostra um alvo para o jogo de dardos formado por um quadrado, de lado 80 cm, contendo cinco círculos concêntricos, de raios iguais a 2 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm e 25 cm. Na figura, foi inserido um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, com a origem no centro do quadrado. A forma de pontuar implicou na divisão do quadrado em seis regiões disjuntas, tal que as pontuações são atribuídas de acordo com a tabela a seguir. A pontuação atribuída em uma jogada, que consiste no arremesso de 3 dardos, é a soma da pontuação obtida com o arremesso de cada dardo. A probabilidade de o dardo acertar determinada região do quadrado é diretamente proporcional à área dessa região.
Tendo como referência essas informações e considerando que todo dardo lançado sempre atingirá algum ponto do quadrado, julgue o item.
Considere que, se um jogador fizer pelo menos 200 pontos em uma jogada, ele receba o prêmio de R$ 100,00. Nesse caso, se, no primeiro dardo lançado, o jogador conseguiu no máximo 20 pontos, então a probabilidade de ele ganhar o prêmio é inferior a 10-5 .
Certa
Errada
Resolução
1. Entenda a situação depois do 1º dardo
O enunciado informa que, no 1º arremesso, o jogador fez no máximo 20 pontos. Logo, sua pontuação inicial está em um destes valores:
- 20 pontos (coroa 15 cm < r ≤ 20 cm);
- 10 pontos (coroa 20 cm < r ≤ 25 cm);
- 0 ponto (região fora do círculo de raio 25 cm, mas dentro do quadrado).
Portanto, depois do 1º dardo o jogador tem, no máximo, 20 pontos.
2. Determine a soma mínima que os 2 dardos restantes precisam atingir
Para receber o prêmio é necessário alcançar pelo menos 200 pontos. Assim, faltam, no mínimo:
\[200 - 20 = 180\]
Como a maior pontuação possível com um dardo é 100 pontos, a única maneira de conseguir 180 ou mais com dois arremessos é marcando 100 pontos em ambos os lançamentos:
- 2º dardo = 100 pontos (raio \(r \leq 2\,\text{cm}\));
- 3º dardo = 100 pontos (raio \(r \leq 2\,\text{cm}\)).
3. Calcule a probabilidade de acertar o centro (100 pontos)
Área do quadrado (lado 80 cm): \(A_q = 80^2 = 6\,400\,\text{cm}^2\).
Área do círculo central (raio 2 cm): \(A_c = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\,\text{cm}^2\).
Probabilidade de um dardo cair no círculo central (hipótese de distribuição uniforme):
\[p = \frac{A_c}{A_q} = \frac{4\pi}{6\,400}=\frac{\pi}{1\,600}\approx 1{,}964\times10^{-3}.\]
4. Probabilidade de acertar o centro duas vezes seguidas
Os arremessos são independentes, logo:
\[P(100\;e\;100) = p^2 \approx \left(1{,}964\times 10^{-3}\right)^2 \approx 3{,}86\times10^{-6}.\]
5. Conclusão
A probabilidade de o jogador atingir pelo menos 200 pontos, dado que começou com no máximo 20 pontos, é ≈ \(3{,}9\times10^{-6}\), que é menor que \(10^{-5}\).
Logo, a afirmação do item está certa.
Dicas
Erros Comuns
- Probabilidade geométrica: quando a chance de acerto é proporcional à área da região-alvo.
- Independência: resultados de dardos diferentes não interferem uns nos outros.
- Probabilidade composta: a chance de ocorrerem dois eventos independentes A e B é \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
- Soma de pontos: verificação de quantos pontos faltam para atingir o objetivo depois de cada lançamento.
