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UNB 2016
A figura acima apresenta, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, a posição de 14 caixas de som hemisféricas de uma orquestra de laptops, com escala em metros. As caixas identificadas pelas letras de A a G estão localizadas em pontos simétricos, em relação ao eixo y, aos pontos onde estão posicionadas as caixas de A’ a G’. A tabela a seguir apresenta as frequências de som predominantes das caixas e as ordenadas dos pontos.
Tendo como referência as informações acima, julgue o item.
Se os pontos A, C, A’ e C’ estiverem sobre a mesma circunferência e as abscissas de A e C forem, respectivamente, iguais a -4 e -5, então a ordenada do centro dessa circunferência será inferior a 4.
a
Certo.
b
Errado.
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Resposta
A
Resolução
Para que quatro pontos pertençam a uma mesma circunferência, todos devem estar à mesma distância de seu centro. Como os pontos A, C, A’ e C’ são simétricos em relação ao eixo y, o centro da circunferência (h, k) deve pertencer a esse eixo, ou seja, h = 0.
Dados do enunciado:
• A = (−4, 7)
• C = (−5, 5)
• A’ = (4, 7)
• C’ = (5, 5)
A distância do centro (0, k) a cada ponto deve ser igual. Igualando as distâncias ao ponto A e ao ponto C:
\[4^{2} + (7 - k)^{2} = 5^{2} + (5 - k)^{2}\]
\[(7 - k)^{2} - (5 - k)^{2} = 25 - 16 = 9\]
Expandindo:
\[(7 - k)^{2} = k^{2} - 14k + 49\]
\[(5 - k)^{2} = k^{2} - 10k + 25\]
Diferença:
\[-14k + 49 - ( -10k + 25 ) = -4k + 24 = 9\]
\[-4k = -15 \Rightarrow k = \frac{15}{4} = 3{,}75\]
Assim, a ordenada do centro é k = 3,75 m, valor inferior a 4. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta: Certo.
Dados do enunciado:
• A = (−4, 7)
• C = (−5, 5)
• A’ = (4, 7)
• C’ = (5, 5)
A distância do centro (0, k) a cada ponto deve ser igual. Igualando as distâncias ao ponto A e ao ponto C:
\[4^{2} + (7 - k)^{2} = 5^{2} + (5 - k)^{2}\]
\[(7 - k)^{2} - (5 - k)^{2} = 25 - 16 = 9\]
Expandindo:
\[(7 - k)^{2} = k^{2} - 14k + 49\]
\[(5 - k)^{2} = k^{2} - 10k + 25\]
Diferença:
\[-14k + 49 - ( -10k + 25 ) = -4k + 24 = 9\]
\[-4k = -15 \Rightarrow k = \frac{15}{4} = 3{,}75\]
Assim, a ordenada do centro é k = 3,75 m, valor inferior a 4. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta: Certo.
Dicas
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Aproveite a simetria: o centro está sobre o eixo y.
Use apenas dois pontos (A e C) para montar a equação da circunferência.
Iguale as distâncias e resolva para a ordenada k.
Erros Comuns
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Assumir que o centro estaria na média aritmética das ordenadas (6) e não perceber a influência das abscissas.
Esquecer que, pela simetria, o centro fica exatamente no eixo y (h = 0).
Calcular a distância sem elevar ao quadrado, perdendo o termo quadrático necessário para igualar as distâncias.
Revisão
- Circunferência: conjunto dos pontos equidistantes de um ponto fixo (centro).
- Sistema cartesiano: as abscissas (x) medem a posição horizontal e as ordenadas (y) a vertical.
- Simetria em relação ao eixo y: pontos (−x, y) e (x, y) formam pares simétricos. O centro de qualquer figura que contenha pares simétricos está sobre o eixo de simetria.
- Distância no plano: A distância entre (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). Igualar distâncias de pontos diferentes a um mesmo centro garante que eles pertençam a uma mesma circunferência.
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