ESPM 2012/1

Vamos posicionar o paralelepípedo num sistema cartesiano ortogonal, usando os comprimentos dados:

• AF = 4 (largura, eixo x);
• FC = 3 (altura, eixo z);
• CE = 2\sqrt{3} (profundidade, eixo y).

Escolha dos vértices (todas as unidades em cm):

• D = (0,0,0)
• E = (4,0,0)    (DE é paralelo a AF)
• C = (4,2\sqrt{3},0)
• F = (4,2\sqrt{3},3)
• A = (0,2\sqrt{3},3)

O ponto B é o ponto médio de DE, logo

\[\displaystyle B=\left(\tfrac{0+4}{2},\tfrac{0+0}{2},\tfrac{0+0}{2}\right)=(2,0,0).\]

Agora calculamos as três arestas do triângulo ABC.

1. Comprimento \(\,\overline{AB}\)

\[\begin{aligned} AB^2&=(2-0)^2+(0-2\sqrt{3})^2+(0-3)^2\\ &=2^2+(2\sqrt{3})^2+3^2\\ &=4+12+9=25\\ \Rightarrow\; AB&=5. \end{aligned}\]

2. Comprimento \(\,\overline{AC}\)

\[\begin{aligned} AC^2&=(4-0)^2+(2\sqrt{3}-2\sqrt{3})^2+(0-3)^2\\ &=4^2+0+3^2=16+9=25\\ \Rightarrow\; AC&=5. \end{aligned}\]

3. Comprimento \(\,\overline{BC}\)

\[\begin{aligned} BC^2&=(4-2)^2+(2\sqrt{3}-0)^2+(0-0)^2\\ &=2^2+(2\sqrt{3})^2=4+12=16\\ \Rightarrow\; BC&=4. \end{aligned}\]

Temos então um triângulo isósceles com lados 5, 5 e 4.

Perímetro

\[P=5+5+4=14.\]

Portanto, o perímetro de \(\triangle ABC\) é 14 cm.

Alternativa correta: B