AFA 2015
A figura abaixo representa um macaco hidráulico constituído de dois pistões A e B de raios RA = 60 cm e RB = 240 cm , respectivamente. Esse dispositivo será utilizado para elevar a uma altura de 2 m, em relação à posição inicial, um veículo de massa igual a 1 tonelada devido à aplicação de uma força F . Despreze as massas dos pistões, todos os atritos e considere que o líquido seja incompressível.
Nessas condições, o fator de multiplicação de força deste macaco hidráulico e o trabalho, em joules, realizado pela força F , aplicada sobre o pistão de menor área, ao levantar o veículo bem lentamente e com velocidade constante, são, respectivamente,
4 e 2,0⋅104
4 e 5,0⋅103
16 e 2,0⋅104
16 e 1,25⋅103
Resolução
Aplicando o princípio de Pascal, a pressão exercida no pistão menor (A) é transmitida integralmente ao pistão maior (B).
1. Fator de multiplicação de força
Sejam:
- RA = 60 cm
- RB = 240 cm
A pressão é a mesma em ambos os pistões:
\[\frac{F}{A_A}=\frac{F_B}{A_B}\]Logo,
\[F_B = F\,\frac{A_B}{A_A}=F\,\frac{\pi R_B^2}{\pi R_A^2}=F\left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2.\]Como \(R_B/R_A = 240/60 = 4\), o fator de multiplicação de força é
\[\boxed{M = 4}.\]2. Mínimo trabalho da força F
O automóvel (massa 1 t = 103 kg) deve ser erguido 2 m. A energia potencial a ser fornecida é
\[E = mgh = (10^3\,\text{kg})(10\,\text{m/s}^2)(2\,\text{m}) = 2,0\times10^4\,\text{J}.\]Como o movimento é lento (velocidade constante) e desprezam-se atritos, considera-se que a energia fornecida por F se converte integralmente nessa energia potencial. Entretanto, como a força em A é quatro vezes menor que o peso, o trabalho realizado por F será quatro vezes menor que o ganho de energia potencial:
\[W_F = \frac{E}{M} = \frac{2,0\times10^4\,\text{J}}{4} = \boxed{5,0\times10^3\,\text{J}}.\]Resposta
Fator de multiplicação: 4; trabalho da força F: 5,0 × 103 J.
Dicas
Erros Comuns
- Princípio de Pascal: a pressão aplicada a um fluido incompressível em equilíbrio transmite-se integralmente por todo o fluido.
- Pressão: \(p = F/A\).
- Macaco hidráulico: a relação entre as forças é igual à relação entre as áreas dos pistões (ou ao quadrado da relação entre os raios/diâmetros).
- Conservação de energia: em um processo quasiestático sem atrito, o trabalho realizado na entrada é igual ao trabalho útil na saída.
