EsPCEx 2008
A figura abaixo representa um elevador hidráulico. Esse elevador possui dois pistões circulares 1 e 2, de massas desprezíveis, sendo o menor com raio e o maior com raio R2 = 5 R1.
O líquido que movimenta os pistões é homogêneo e incompressível.
Colocamos um corpo de massa M sobre o pistão maior e, para que o conjunto fique em equilíbrio estático, será necessário colocar sobre o pistão menor um outro corpo cuja massa vale
M/5
M/25
M
5 M
25 M
Resolução
Para que o elevador hidráulico permaneça em equilíbrio estático, as pressões exercidas pelos pistões sobre o líquido devem ser iguais (princípio de Pascal).
Seja:
- massa M sobre o pistão maior (2);
- massa m sobre o pistão menor (1);
- raios: \(R_1\) (menor) e \(R_2 = 5R_1\) (maior).
A pressão em cada pistão é dada por \(P = \dfrac{F}{A}\), onde \(F = mg\) e \(A = \pi R^{2}\).
Assim, para o equilíbrio:
\[ \frac{m g}{\pi R_1^2}=\frac{M g}{\pi R_2^2} \]Cortando \(g\) e \(\pi\):
\[ \frac{m}{R_1^2}=\frac{M}{R_2^2}\quad\Longrightarrow\quad m=M\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 \]Substituindo \(R_2 = 5R_1\):
\[ m = M\left(\frac{R_1}{5R_1}\right)^2 = M\left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{M}{25} \]Portanto, a massa a ser colocada sobre o pistão menor é \(\boxed{\dfrac{M}{25}}\).
Dicas
Erros Comuns
Princípio de Pascal
Em um fluido incompressível e em equilíbrio, uma variação de pressão aplicada em qualquer ponto transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido.
Pressão em pistões
Para um pistão circular submetido a uma força vertical:
- Força: \(F = mg\) (peso do corpo apoiado);
- Área: \(A = \pi R^{2}\);
- Pressão: \(P = F/A\).
No equilíbrio, as pressões nos dois pistões devem ser iguais.
