URCA 2018/1
A figura abaixo mostra um bloco de massa m, inicialmente em repouso no topo de um plano inclinado, sem atrito. O ângulo entre a superfície horizontal e o plano inclinado é igual a θ, onde H é a altura em que, inicialmente se encontra o corpo de massa m. Em seguida, o bloco é então liberado, onde então, começa a descer o plano inclinado. A aceleração da gravidade local é igual a g e Δ S é a distância percorrida pelo bloco ao descer o plano inclinado.
Podemos afirmar que o tempo em que o corpo de massa m chega até a base do plano inclinado é:
\(\sqrt{\frac{\triangle S}{2gH}}\)
\(\sqrt{\frac{g}{2H}}\triangle S\)
\(\sqrt{\frac{2}{gH}}\triangle S\)
\(\sqrt{\frac{2g}{\triangle S}}H\)
\(\sqrt{\frac{2H}{\triangle S}}g\)
Resolução
Passo 1 – Relação entre H, \(\Delta S\) e \(\theta\)
Na geometria do plano inclinado sem atrito:
\[\sin\theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{H}{\Delta S}.\]
Passo 2 – Aceleração ao longo do plano
O peso decompõe-se em:
- componente normal: \(mg\cos\theta\);
- componente tangencial (responsável pelo movimento): \(mg\sin\theta\).
Logo, pela 2ª Lei de Newton, a aceleração é
\[a = g\sin\theta = g\frac{H}{\Delta S}.\]
Passo 3 – Equação do movimento
O bloco parte do repouso (\(v_0 = 0\)) e percorre \(\Delta S\) com aceleração constante a:
\[\Delta S = \frac12 a t^2 \;\;\Longrightarrow\;\; t = \sqrt{\frac{2\,\Delta S}{a}}.\]
Passo 4 – Substituindo a aceleração
\[ t = \sqrt{\frac{2\,\Delta S}{g\,H/\Delta S}} = \sqrt{\frac{2\,\Delta S^2}{gH}} = \Delta S\sqrt{\frac{2}{gH}}. \]
Resultado
\[\boxed{\;t = \Delta S\,\sqrt{\dfrac{2}{gH}}\;}\]
Portanto, a alternativa correta é a C.
Dicas
Erros Comuns
- Plano inclinado sem atrito: a única força componente ao longo da rampa é o peso tangencial \(mg\sin\theta\).
- Relação trigonométrica: \(\sin\theta = H/\Delta S\) liga altura, hipotenusa e ângulo.
- MRUA: para aceleração constante, \(\Delta S = v_0 t + \frac12 a t^2\); partindo do repouso, simplifica para \(\Delta S = \frac12 a t^2\).
