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UEL 1° Fase 2012
A figura a seguir representa um modelo plano do desenvolvimento vertical da raiz de uma planta do mangue. A partir do caule, surgem duas ramificações da raiz e em cada uma delas surgem mais duas ramificações e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical de uma ramificação, dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é sempre a metade do comprimento da ramificação anterior.
Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação é de h1 = 1 m, qual o comprimento vertical total da raiz, em metros, até h10?
a
\(\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{10}}\right)\)
b
\(\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^9}\right)\)
c
\(2\left(1-\frac{1}{2^{10}}\right)\)
d
\(2\left(1-\frac{1}{10^{10}}\right)\)
e
\(2\left(1-\frac{1}{2^9}\right)\)
Ver resposta
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Resposta
C
Resolução
\[
S_{10}=h_1+h_2+\dots +h_{10}\quad\text{com}\quad h_k=\left(\frac12\right)^{\!k-1}\text{ m}
\]
\[S_{10}=1+\frac12+\frac14+\dots+\left(\frac12\right)^9\]
É a soma dos 10 primeiros termos de uma P.G. de razão \(q=\tfrac12\):
\[S_{10}=\frac{1-\left(\frac12\right)^{10}}{1-\frac12}=2\!\left(1-\frac1{2^{10}}\right)\text{ m}\]
Portanto, a alternativa correta é a **C**.
Dicas
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Identifique que cada nível mede metade do anterior: é uma progressão geométrica.
A pergunta quer a soma dos dez primeiros níveis (\(h_1\) a \(h_{10}\)).
Use \(S_n=\frac{a_1(1-q^{n})}{1-q}\) com \(a_1=1\) e \(q=\tfrac12\).
Erros Comuns
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Esquecer de usar a fórmula da soma de P.G. e simplesmente multiplicar por 10.
Usar expoente 9 achando que o primeiro termo corresponde a \(2^0=1\) e deve parar em \(2^{-9}\).
Dividir por 2 em vez de por \((1-1/2)=1/2\) na fórmula, originando fatores \(1/2\).
Revisão
• Progressão geométrica (P.G.) finita: \(S_n=\dfrac{a_1(1-q^{n})}{1-q}\).
• Razão \(q<1\): a soma aproxima-se de um valor limite quando \(n\to\infty\).
• Relação problema↔P.G.: cada nível da raiz mede metade do anterior, logo forma uma P.G. com \(a_1=1\) e \(q=\tfrac12\).
• Razão \(q<1\): a soma aproxima-se de um valor limite quando \(n\to\infty\).
• Relação problema↔P.G.: cada nível da raiz mede metade do anterior, logo forma uma P.G. com \(a_1=1\) e \(q=\tfrac12\).
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