UEA-Específico Exatas 2020
A equação polinomial x3 – kx2 + x + 6 = 0, em que k é um número real não nulo, tem o número –1 como raiz.
A soma dos quadrados das outras raízes é igual a
4.
16.
9.
11.
13.
Resolução
Sabemos que, se \(-1\) é raiz do polinômio
\[P(x)=x^{3}-kx^{2}+x+6\]
então obrigatoriamente
\[P(-1)=0.\]
Substituindo:
\[(-1)^{3}-k(-1)^{2}+(-1)+6=0\]
\[-1-k-1+6=0\Rightarrow4-k=0\Rightarrow k=4.\]
Assim, o polinômio torna-se
\[x^{3}-4x^{2}+x+6.\]
Como \(-1\) é raiz, o fator \((x+1)\) divide o polinômio. Podemos fazer a divisão sintética:
-1 │ 1 -4 1 6
│ -1 5 -6
└──────────────────
1 -5 6 0 Logo,
\[x^{3}-4x^{2}+x+6=(x+1)(x^{2}-5x+6).\]
A equação quadrática \(x^{2}-5x+6=0\) fornece as outras duas raízes:
\[x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm1}{2}\Rightarrow x_{1}=2,\;x_{2}=3.\]
Finalmente, a soma dos quadrados dessas raízes é
\[2^{2}+3^{2}=4+9=13.\]
Resposta: 13.
Dicas
Erros Comuns
- Raiz de polinômio: Se \(a\) é raiz de \(P(x)\), então \(P(a)=0\) e \((x-a)\) é fator de \(P(x)\).
- Divisão de polinômios / divisão sintética: Método rápido para fatorar quando se conhece uma raiz.
- Fórmula de Bhaskara: Resolve quadrática \(ax^{2}+bx+c=0\) via \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.\)
- Soma de quadrados: Depois de achar as raízes, basta elevá-las ao quadrado e somar.
