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Mackenzie Manhã 2020
A equação 2 log x = log 1000 + colog 10 existe para x igual a
a
1000
b
100
c
10
d
– 10
e
0
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Resposta
C
Resolução
Da equação
\[2\,\log x = \log 1000 + \operatorname{colog} 10\]
- Assumimos logaritmos na base 10 (log comum).
- Recorde que o cologaritmo é definido por \(\operatorname{colog} a = \log \left(\dfrac1a\right)\). Portanto
\[\operatorname{colog} 10 = \log\,\frac{1}{10} = -\log 10 = -1.\] - Calcule \(\log 1000\): como \(1000 = 10^{3}\), temos \(\log 1000 = 3\).
- Soma no segundo membro:
\[\log 1000 + \operatorname{colog} 10 = 3 + (-1) = 2.\] - Iguale os dois lados:
\[2\,\log x = 2 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; \log x = 1.\] - Por fim, convertendo do logaritmo para a forma exponencial:
\[x = 10^{1}=10.\]
Portanto, a equação existe (tem solução real) para \(x = 10\).
Dicas
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Lembre que colog é o logaritmo do inverso.
Calcule separadamente \(\log 1000\) e \(\operatorname{colog} 10\).
Depois de simplificar, isole \(\log x\) e use a forma exponencial.
Erros Comuns
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Considerar colog 10 como +1 em vez de −1.
Esquecer que logaritmo de número negativo ou zero não existe.
Dividir ambos os lados por 2 antes de somar os termos, confundindo a ordem das operações.
Revisão
- Logaritmo comum (base 10): \(\log 10^{k}=k\).
- Cologaritmo: \(\operatorname{colog} a = \log \left(\dfrac{1}{a}\right) = -\log a\).
- Solução de equações logarítmicas: isolar o logaritmo e transformar em forma exponencial.
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