ENEM 2024

A questão pede para encontrarmos a relação entre a densidade demográfica da região Q, \(d(Q)\), e a densidade demográfica da região R, \(d(R)\).

Primeiro, vamos recordar a definição de densidade demográfica dada no enunciado:

\[ \text{Densidade demográfica} = \frac{\text{Número de habitantes}}{\text{Área}} \]

Vamos denotar o número de habitantes de uma região X por \(H_X\) e a área por \(A_X\). Assim, a densidade demográfica \(d(X)\) é dada por:

\[ d(X) = \frac{H_X}{A_X} \]

Para a região R, temos:

\[ d(R) = \frac{H_R}{A_R} \]

Para a região Q, temos:

\[ d(Q) = \frac{H_Q}{A_Q} \]

O enunciado nos fornece as seguintes informações sobre a relação entre as regiões Q e R:

• A área de Q é igual a três quartos da área de R: \( A_Q = \frac{3}{4} A_R \)
• O número de habitantes de Q é igual à metade do número de habitantes de R: \( H_Q = \frac{1}{2} H_R \)

Agora, vamos substituir essas relações na fórmula da densidade demográfica de Q:

\[ d(Q) = \frac{H_Q}{A_Q} = \frac{\frac{1}{2} H_R}{\frac{3}{4} A_R} \]

Para simplificar essa expressão, podemos reescrever a divisão de frações como uma multiplicação pelo inverso da fração do denominador:

\[ d(Q) = \left( \frac{1}{2} H_R \right) \times \left( \frac{1}{\frac{3}{4} A_R} \right) \] \[ d(Q) = \frac{1}{2} H_R \times \frac{4}{3 A_R} \] \[ d(Q) = \frac{1 \times 4}{2 \times 3} \times \frac{H_R}{A_R} \] \[ d(Q) = \frac{4}{6} \times \frac{H_R}{A_R} \]

Simplificando a fração \(\frac{4}{6}\) dividindo o numerador e o denominador por 2, obtemos \(\frac{2}{3}\):

\[ d(Q) = \frac{2}{3} \times \frac{H_R}{A_R} \]

Lembre-se que \( d(R) = \frac{H_R}{A_R} \). Podemos substituir isso na expressão para \(d(Q)\):

\[ d(Q) = \frac{2}{3} d(R) \]

Portanto, a expressão que relaciona \(d(Q)\) e \(d(R)\) é \(d(Q) = \frac{2}{3} d(R)\).