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UEA SIS 2ª Etapa 2018
A base ABCD de um paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH é paralela a um plano \(\alpha\) que não tem pontos em comum com o paralelepípedo.
Projetando-se a aresta AE e os segmentos BG e FH sobre o plano \(\alpha\), obtém-se
a
b
c
d
e
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Resposta
E
Tempo médio
1 min
Resolução
Considere a projeção ortogonal, isto é, cada ponto é enviado ao pé da perpendicular ao plano \(\alpha\). Como o plano da base \(ABCD\) é paralelo a \(\alpha\), todas as retas perpendiculares a esse plano (arestas verticais) também são perpendiculares a \(\alpha\).
1. Projeção da aresta \(AE\)
\(AE\) é perpendicular a \(\alpha\). Assim, todos os seus pontos têm o mesmo pé da perpendicular, logo a imagem é um ponto, o ponto \(A'\).
2. Projeção do segmento \(BG\)
As extremidades são
\(B\rightarrow B'\) e \(G\rightarrow G'\).
No sistema de coordenadas (base no plano da base), \(B\) e \(G\) têm mesma abscissa \((x)\) e ordenadas diferentes \((y)\). Portanto, a imagem é o segmento vertical \(B'G'\) no plano \(\alpha\).
3. Projeção do segmento \(FH\)
\(F\) projeta-se em \(F'=B'\) (mesma projeção que \(B\)) e \(H\) projeta-se em \(H'=D'\). Assim, a imagem de \(FH\) é o segmento diagonal que liga \(B'=F'\) a \(H'\).
Reunindo as três imagens, obtém-se:
• um ponto em \(A'\);
• um segmento vertical em \(B'G'\);
• um segmento diagonal ligando \(B'\) a \(H'\).
Essa configuração corresponde exatamente ao que se vê na alternativa E.
1. Projeção da aresta \(AE\)
\(AE\) é perpendicular a \(\alpha\). Assim, todos os seus pontos têm o mesmo pé da perpendicular, logo a imagem é um ponto, o ponto \(A'\).
2. Projeção do segmento \(BG\)
As extremidades são
\(B\rightarrow B'\) e \(G\rightarrow G'\).
No sistema de coordenadas (base no plano da base), \(B\) e \(G\) têm mesma abscissa \((x)\) e ordenadas diferentes \((y)\). Portanto, a imagem é o segmento vertical \(B'G'\) no plano \(\alpha\).
3. Projeção do segmento \(FH\)
\(F\) projeta-se em \(F'=B'\) (mesma projeção que \(B\)) e \(H\) projeta-se em \(H'=D'\). Assim, a imagem de \(FH\) é o segmento diagonal que liga \(B'=F'\) a \(H'\).
Reunindo as três imagens, obtém-se:
• um ponto em \(A'\);
• um segmento vertical em \(B'G'\);
• um segmento diagonal ligando \(B'\) a \(H'\).
Essa configuração corresponde exatamente ao que se vê na alternativa E.
Dicas
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Projete primeiro todos os oito vértices do paralelepípedo sobre \(\alpha\).
Observe que \(AE\) é perpendicular ao plano; qual é a projeção de uma reta perpendicular?
Note que as projeções de B e F coincidem, bem como as de C e G, D e H.
Erros Comuns
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Achar que a projeção de uma aresta perpendicular ao plano continua sendo um segmento, quando na verdade vira um ponto.
Esquecer que F e B (assim como H e D) têm a mesma projeção, gerando sobreposição de pontos.
Ligar pontos errados ao traçar a imagem de \(FH\), produzindo um segmento fora da posição correta.
Revisão
• Projeção ortogonal em um plano: traça-se por cada ponto a perpendicular ao plano; a interseção é a imagem.
• Se dois planos são paralelos, a projeção ortogonal de um sobre o outro é uma translação: pontos que têm mesma projeção horizontal coincidem.
• Segmento perpendicular ao plano projeta-se em um ponto.
• Segmento contido em plano paralelo ao plano-alvo projeta-se em segmento congruente.
• Para encontrar a imagem de um segmento qualquer, basta projetar as extremidades e uni-las.
• Se dois planos são paralelos, a projeção ortogonal de um sobre o outro é uma translação: pontos que têm mesma projeção horizontal coincidem.
• Segmento perpendicular ao plano projeta-se em um ponto.
• Segmento contido em plano paralelo ao plano-alvo projeta-se em segmento congruente.
• Para encontrar a imagem de um segmento qualquer, basta projetar as extremidades e uni-las.
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