ITA 1993

Seja a pirâmide quadrangular regular com:

• Área da base: \(A_b = 64\,\text{m}^2\).
• Altura (distância do vértice ao centro da base): \(h = 4\,\text{m}\).

1. Determinar a aresta da base

Como a base é um quadrado, se \(a\) é a medida do lado, então

\[a^2 = 64 \;\Rightarrow\; a = \sqrt{64}=8\,\text{m}.\]

2. Calcular a apótema (geratriz) da pirâmide

A pirâmide é regular, logo o pé da altura coincide com o centro da base. A apótema \(l\) é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por:

• meia aresta da base: \(\dfrac{a}{2}=\dfrac{8}{2}=4\,\text{m}\);
• altura: \(h=4\,\text{m}\).

Aplicando o teorema de Pitágoras:

\[l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\,\text{m}.\]

3. Área de uma face lateral

Cada face é um triângulo de base \(a=8\,\text{m}\) e altura (da face) igual à apótema \(l=4\sqrt{2}\,\text{m}\). Logo

\[A_{\text{face}}=\frac{a\,l}{2}=\frac{8\cdot4\sqrt{2}}{2}=4\cdot4\sqrt{2}=16\sqrt{2}\,\text{m}^2.\]

4. Área lateral total

Há quatro faces iguais:

\[A_L = 4\,A_{\text{face}} = 4\cdot16\sqrt{2}=64\sqrt{2}\,\text{m}^2.\]

Resposta

A área lateral da pirâmide é \(\boxed{64\sqrt{2}\,\text{m}^2}\).