FAMEMA 2019
A área lateral de um cilindro circular reto é 72π cm2 e seu volume é 6 vezes o volume de um cone circular reto que tem 18 cm de altura.
Sabendo que a medida do raio da base do cilindro é o dobro da medida do raio da base do cone, então a medida do raio da base do cone é
2 cm.
6 cm.
4 cm.
8 cm.
10 cm
Resolução
1. Definições e variáveis
- Seja x o raio da base do cone.
- Então o raio da base do cilindro é \(r_{cil}=2x\).
- Seja \(h\) a altura do cilindro (ainda desconhecida).
2. Área lateral do cilindro
A área lateral de um cilindro é \(A_{lat}=2\pi r h\).
Como \(A_{lat}=72\pi\) e \(r=2x\):
\[2\pi\,(2x)\,h = 72\pi\]
\[4\pi x h = 72\pi\]
Dividindo por \(4\pi\): \[h = \frac{72}{4x}=\frac{18}{x}.\]
3. Volume do cilindro
\[V_{cil}=\pi r^{2}h = \pi (2x)^{2}\,h = 4\pi x^{2}h.\]
Substituindo \(h=\dfrac{18}{x}\):
\[V_{cil}=4\pi x^{2}\left(\frac{18}{x}\right)=72\pi x.\]
4. Volume do cone
O volume de um cone é \(V_{cone}=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h\).
O cone tem raio \(x\) e altura \(18\,\text{cm}\):
\[V_{cone}=\frac{1}{3}\pi x^{2}\cdot18 = 6\pi x^{2}.\]
5. Relação entre os volumes
O volume do cilindro é 6 vezes o volume do cone:
\[V_{cil}=6\,V_{cone}\]
\[72\pi x = 6\,(6\pi x^{2})\]
\[72\pi x = 36\pi x^{2}\]
Cancelando \(\pi\) e dividindo ambos os lados por \(x\neq0\):
\[72 = 36x\]
\[x = \frac{72}{36}=2.\]
6. Conclusão
O raio da base do cone mede 2 cm.
Dicas
Erros Comuns
Fórmulas envolvidas
- Cilindro reto:
• Área lateral: \(A_{lat}=2\pi r h\)
• Volume: \(V=\pi r^{2}h\) - Cone reto:
• Volume: \(V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h\)
Ao aparecer uma relação entre áreas, volumes e proporções entre raios, basta escrever as equações, substituir e resolver a incógnita.
