IFRR Superior 2015/2
A área lateral, a área total e o volume da pirâmide de base quadrangular que foi erguida na Praça Simão Bolívar na Ene Garcez cujas medidas dos lados da base e das faces laterais medem 5m são, respectivamente:
\(\begin{matrix}A_L=25\sqrt{3}m^2\\A_r=25(1+\sqrt{3})m^2\\V=\frac{125\sqrt{2}}{6}m^3\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}A_L=5\sqrt{3}m^2\\A_r=25(1+\sqrt{3})m^2\\V=\frac{25\sqrt{3}}{6}m^3\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}A_L=25\sqrt{3}m^2\\A_r=25(1+\sqrt{3})m^2\\V=\frac{125\sqrt{3}}{6}m^3\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}A_L=25\sqrt{3}m^2\\A_r=5(1+\sqrt{3})m^2\\V=\frac{125\sqrt{2}}{6}m^3\end{matrix}\)
\(\begin{matrix}A_L=25\sqrt{3}m^2\\A_r=25(1+\sqrt{2})m^2\\V=\frac{5\sqrt{3}}{6}m^3\end{matrix}\)
Resolução
Seja a pirâmide regular de base quadrada cujo lado da base mede \(a=5\,\text{m}\) e cujas arestas laterais (arestas que unem o vértice aos vértices da base) também medem \(l=5\,\text{m}\).
1 Altura da pirâmide (h)
O vértice projeta-se no centro do quadrado da base. Assim, a altura \(h\) forma, com a meia-diagonal da base, um triângulo retângulo:
• meia-diagonal da base: \(r=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{5\sqrt2}{2}\;\text{m}\);
• aresta lateral (hipotenusa): \(l=5\,\text{m}\).
Aplicando Pitágoras:
\[h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{5^{2}-\left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^{2}}=\sqrt{25-\dfrac{25\cdot2}{4}}=\sqrt{25-12{,}5}=\sqrt{\dfrac{25}{2}}=\dfrac{5}{\sqrt2}=\dfrac{5\sqrt2}{2}\,\text{m}.\]
2 Área lateral (AL)
Cada face lateral é um triângulo cujos três lados medem 5 m. Logo é um triângulo equilátero.
Área de um triângulo equilátero de lado \(a\): \(A=\dfrac{a^{2}\sqrt3}{4}\).
Para cada face: \(A_1=\dfrac{5^{2}\sqrt3}{4}=\dfrac{25\sqrt3}{4}\;\text{m}^2\).
Sendo 4 faces:
\[A_{L}=4\cdot\dfrac{25\sqrt3}{4}=25\sqrt3\;\text{m}^2.\]
3 Área total (AT)
Área da base (quadrado): \(A_B=a^{2}=25\,\text{m}^2\).
\[A_{T}=A_{L}+A_{B}=25\sqrt3+25=25(1+\sqrt3)\;\text{m}^2.\]
4 Volume (V)
\[V=\dfrac{1}{3}\,A_{B}\,h=\dfrac13\cdot25\cdot\dfrac{5\sqrt2}{2}=\dfrac{125\sqrt2}{6}\;\text{m}^3.\]
5 Resposta
Área lateral, área total e volume, respectivamente:
\[A_L=25\sqrt3\,\text{m}^2,\quad A_T=25(1+\sqrt3)\,\text{m}^2,\quad V=\dfrac{125\sqrt2}{6}\,\text{m}^3.\]
Alternativa correta: A.
Dicas
Erros Comuns
- Pirâmide regular: base regular (polígono regular) e vértice alinhado ao centro da base. Arestas laterais iguais.
- Área lateral: soma das áreas das faces laterais.
- Área total: área lateral + área da base.
- Volume de pirâmide: \(V=\dfrac13\,A_{\text{base}}\,h\).
- Triângulo equilátero: todos os lados iguais a \(a\); área \(=\dfrac{a^{2}\sqrt3}{4}\).
- Diagonal do quadrado: \(d=a\sqrt2\); meia-diagonal \(=\dfrac{a\sqrt2}{2}\).
- Teorema de Pitágoras para relacionar a aresta lateral (hipotenusa), a altura e a meia-diagonal.
