UFN Verão 2011
A área do quadrilátero ABCD, inscrito na circunferência de raio unitário e centrada em O, representado na figura, é igual a
\(\sqrt{3}+1.\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}+1.\)
\(\frac{\sqrt{3}+1}{2}.\)
\(2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right).\)
\(2\sqrt{3}.\)
Resolução
Os quatro vértices do quadrilátero estão sobre a circunferência de raio unitário (\(R = 1\)) e, segundo o desenho, os ângulos centrais entre os raios consecutivos valem
\[\widehat{AOB}=4\alpha,\;\widehat{BOC}=2\alpha,\;\widehat{COD}=\alpha,\;\widehat{DOA}=5\alpha.\]
Como a soma deve perfazer a volta completa, temos
\[4\alpha+2\alpha+\alpha+5\alpha=12\alpha=360^{\circ}\;\Longrightarrow\;\alpha=30^{\circ}.\]
1. Áreas dos triângulos formados com o centro
O centro \(O\) encontra-se no interior do quadrilátero, de modo que a região procurada pode ser decomposta nos quatro triângulos \(\triangle AOB,\;\triangle BOC,\;\triangle COD,\;\triangle DOA\).
Para cada triângulo, a área é
\[A_{\triangle}=\frac12 R^2\sin(\theta)=\frac12\sin(\theta),\tag{1}\]
porque \(R=1\).
Aplicando (1) aos quatro ângulos:
- \(\triangle AOB:\; \theta=4\alpha=120^{\circ}\;\Rightarrow\;A_{AOB}=\frac12\sin120^{\circ}=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{4}.\)
- \(\triangle BOC:\; \theta=2\alpha=60^{\circ}\;\Rightarrow\;A_{BOC}=\frac{\sqrt3}{4}.\)
- \(\triangle COD:\; \theta=\alpha=30^{\circ}\;\Rightarrow\;A_{COD}=\frac12\cdot\frac12=\frac14.\)
- \(\triangle DOA:\; \theta=5\alpha=150^{\circ}\;\Rightarrow\;A_{DOA}=\frac12\cdot\frac12=\frac14.\)
2. Área do quadrilátero
Somando as quatro áreas:
\[A_{ABCD}=\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{4}+\frac14+\frac14=\frac{\sqrt3+1}{2}.\]
Portanto,
\[\boxed{\dfrac{\sqrt3+1}{2}}\]
Corresponde à alternativa C.
Dicas
Erros Comuns
- Polígono inscrito e ângulos centrais: os ângulos no centro delimitados por vértices consecutivos somam \(360^{\circ}\).
- Área de triângulo com dois lados conhecidos e ângulo incluso: \(A=\frac12 ab\sin\theta\). Num círculo de raio \(R\), usando os raios como lados (\(a=b=R\)), fica \(A=\frac12R^{2}\sin\theta\).
- Seno de ângulos notáveis: \(\sin30^{\circ}=\tfrac12\); \(\sin60^{\circ}=\sin120^{\circ}=\tfrac{\sqrt3}{2}\); \(\sin150^{\circ}=\tfrac12\).
