FGV-RJ Administração, C. Sociais e Direito 2017
A área de um trapézio mede 1800 cm2. A altura desse trapézio mede 50 cm. Considere o problema de determinar as medidas das bases desse trapézio, sabendo que essas medidas, em centímetros, são números inteiros divisíveis por 8.
O número de soluções desse problema é:
3.
2.
1.
4.
5.
Resolução
Dados do problema
- Área do trapézio: \(A = 1\,800\,\text{cm}^2\).
- Altura: \(h = 50\,\text{cm}\).
- Bases (\(B\) e \(b\)) são números inteiros divisíveis por 8.
1. Relacionando área, altura e bases
A fórmula da área de um trapézio é
\[A = \frac{(B + b)\,h}{2}.\]
Substituindo os valores conhecidos:
\[1\,800 = \frac{(B + b)\,50}{2}.\]
Simplificando:
\[(B + b)\,25 = 1\,800 \;\;\;\Longrightarrow\;\;\; B + b = \frac{1\,800}{25} = 72.\]
2. Imponto a divisibilidade por 8
Escreva \(B\) e \(b\) como múltiplos de 8:
\[B = 8x, \quad b = 8y, \quad x, y \in \mathbb{N}.\]
Então
\[8x + 8y = 72 \quad \Longrightarrow \quad x + y = 9.\]
3. Contando as soluções inteiras positivas
Os pares positivos \((x, y)\) que satisfazem \(x + y = 9\) são:
(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1).
No trapézio costuma‑se distinguir base maior e base menor. Assim, consideramos um par para cada combinação não-ordenada (ou seja, contamos apenas uma vez cada dupla {B, b}). Como \(9\) é ímpar, não há caso com \(x = y\), então formamos pares simétricos:
- (1, 8) e (8, 1) → mesmo par \(\{1, 8\}\)
- (2, 7) e (7, 2) → \(\{2, 7\}\)
- (3, 6) e (6, 3) → \(\{3, 6\}\)
- (4, 5) e (5, 4) → \(\{4, 5\}\)
Logo, há exatamente 4 pares distintos de bases.
Resposta: D
Dicas
Erros Comuns
Conceitos-chave
- Área do trapézio: \(A = \frac{(B + b)h}{2}\).
- Se um número é múltiplo de 8, podemos escrevê-lo como \(8k\).
- Soma de inteiros positivos: número de pares \((x, y)\) com \(x + y = n\) é \(n-1\) quando a ordem importa; metade disso (arredondado para cima) quando a ordem não importa e \(x \neq y\).
