FPS Demais Cursos 2017/2
A área corporal da superfície externa de uma criança pode ser utilizada para a dosagem de medicações em quimioterapia. Admita que a relação entre a área A, em m2, da superfície corporal de uma criança, e sua massa M, em kg, é dada pela fórmula \(A=\frac{4M+7}{M+90}.\)
Analise as alternativas a seguir de acordo com essas informações e assinale a incorreta.
Uma criança com massa de 10 kg tem área corporal que mede 0,47 m2 .
A área da superfície corporal de uma criança é diretamente proporcional à sua massa.
Uma criança com área corporal A, em m2 , tem massa, em kg, dada por \(\frac{90A-7}{4-A}.\)
Se uma criança tem massa superior a 51,2 kg, então sua área corporal é superior a 1,5 m2 .
Uma criança com área corporal que mede 1,176 m2 tem massa de 35 kg.
Resolução
Etapa 1 – Compreender a fórmula
\[(1)\quad A=\frac{4M+7}{M+90}\]
Ela relaciona a área corporal A (m²) à massa M (kg).
Etapa 2 – Avaliar cada alternativa
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- A) Substituindo M = 10 em (1): \[A=\frac{4\cdot10+7}{10+90}=\frac{47}{100}=0{,}47 \text{ m}^2.\] Valor coincide com o enunciado ⇒ alternativa verdadeira. \n
- B) “Diretamente proporcional” significaria A = k·M com k constante. Calculando \(A/M\) com dois valores qualquer (por ex. M=10 e M=20) vemos que a razão muda, logo a relação não é de proporcionalidade direta ⇒ alternativa falsa. \n
- C) Resolver (1) para M:
\[A(M+90)=4M+7 \Rightarrow AM-4M = 7-90A \Rightarrow M = \frac{7-90A}{A-4}=\frac{90A-7}{4-A}.\] Expressão idêntica à apresentada ⇒ alternativa verdadeira. \n - D) Para saber se \(M>51{,}2\,\text{kg}\) implica \(A>1{,}5\,\text{m}^2\): note que a função é crescente (derivada positiva). Basta calcular A quando M=51,2: \[A=\frac{4\cdot51{,}2+7}{51{,}2+90}=\frac{211{,}8}{141{,}2}=1{,}5.\] Se a massa for maior que 51,2 kg, a área será maior que 1,5 m² ⇒ alternativa verdadeira. \n
- E) Usando a expressão da alternativa C com \(A=1{,}176\):
\[M=\frac{90\cdot1{,}176-7}{4-1{,}176}=\frac{105{,}84-7}{2{,}824}=\frac{98{,}84}{2{,}824}\approx35\,\text{kg}.\] Afirmação correta. \n
Conclusão: a única alternativa incorreta é a B.
\nDicas
Erros Comuns
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- Função racional: razão entre dois polinômios. Pode ser crescente ou decrescente conforme o sinal da derivada. \n
- Proporcionalidade direta: variáveis ligadas por \(y=kx\) (k constante). Se a razão \(y/x\) varia, não há proporcionalidade direta. \n
- Isolamento de variável: para obter M em função de A, multiplica-se cruzado, reagrupa-se termos e resolve-se para M. \n
- Monotonicidade: derivada positiva garante função crescente, permitindo conclusões do tipo “se M aumenta, A aumenta”. \n
