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UNIFOR Tecnologico 2016/2
A Álgebra Linear é uma das disciplinas básicas dos Cursos de Engenharia do Centro de Ciências Tecnológicas da Universidade de Fortaleza. No semestre 2016.1 um professor dessa disciplina aplicou uma avaliação com seis questões, onde as quatro primeiras valiam 1,5 ponto cada, e as duas últimas valiam 2,0 pontos cada. Cada questão, ao ser corrigida, era considerada certa ou errada. No caso de certa, era atribuída a ela o total de pontos que valia e, no caso de errada, a nota 0 (zero). Ao final da correção de todas as provas, foi divulgada a seguinte tabela:
A média aritmética das notas de todos os que realizaram tal avaliação é
a
3,0.
b
3,7.
c
3,9.
d
4,1.
e
4,5.
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Resposta
D
Tempo médio
4 min
Resolução
Primeiro devemos compreender que a média aritmética da turma é obtida somando‑se, para cada questão, a pontuação da questão multiplicada pelo percentual de alunos que a acertaram. Como o número de provas é o mesmo para todas as questões, basta trabalhar com porcentagens (ou frações) e somar os valores esperados.
Valor de cada questão
• Questões 1, 2, 3 e 4: valem \(1{,}5\) ponto cada.
• Questões 5 e 6: valem \(2{,}0\) pontos cada.
Percentual de acertos (retirado da tabela):
\(Q_1=60\%\;(0,60)\), \(Q_2=50\%\;(0,50)\), \(Q_3=40\%\;(0,40)\), \(Q_4=70\%\;(0,70)\), \(Q_5=10\%\;(0,10)\), \(Q_6=30\%\;(0,30)\).
Contribuição de cada questão para a média
\[\begin{aligned}M_1 &=1,5\times0,60=0,90\\ M_2 &=1,5\times0,50=0,75\\ M_3 &=1,5\times0,40=0,60\\ M_4 &=1,5\times0,70=1,05\\[4pt] M_5 &=2,0\times0,10=0,20\\ M_6 &=2,0\times0,30=0,60\end{aligned}\]
Soma das contribuições
\[\text{Média}=0,90+0,75+0,60+1,05+0,20+0,60=4,10\]
Logo, a média aritmética das notas é \(4{,}1\).
Resposta: D
Valor de cada questão
• Questões 1, 2, 3 e 4: valem \(1{,}5\) ponto cada.
• Questões 5 e 6: valem \(2{,}0\) pontos cada.
Percentual de acertos (retirado da tabela):
\(Q_1=60\%\;(0,60)\), \(Q_2=50\%\;(0,50)\), \(Q_3=40\%\;(0,40)\), \(Q_4=70\%\;(0,70)\), \(Q_5=10\%\;(0,10)\), \(Q_6=30\%\;(0,30)\).
Contribuição de cada questão para a média
\[\begin{aligned}M_1 &=1,5\times0,60=0,90\\ M_2 &=1,5\times0,50=0,75\\ M_3 &=1,5\times0,40=0,60\\ M_4 &=1,5\times0,70=1,05\\[4pt] M_5 &=2,0\times0,10=0,20\\ M_6 &=2,0\times0,30=0,60\end{aligned}\]
Soma das contribuições
\[\text{Média}=0,90+0,75+0,60+1,05+0,20+0,60=4,10\]
Logo, a média aritmética das notas é \(4{,}1\).
Resposta: D
Dicas
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Converta cada percentual para número decimal dividindo por 100.
Multiplique o decimal pelo valor da questão para obter a "nota média" daquela questão.
Some todas essas "notas médias" para chegar à média da prova.
Erros Comuns
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Usar média simples dos percentuais em vez de considerar pesos distintos das questões.
Esquecer de transformar porcentagem em número decimal (usar 60 em vez de 0,60).
Atribuir valor 1,5 às questões 5 e 6 ou 2,0 a todas as questões.
Somar percentuais antes de multiplicar pelos valores, gerando confusão de unidades.
Revisão
- Média aritmética ponderada: é a soma dos valores multiplicados por seus pesos, dividida pela soma dos pesos. Aqui, como todos os alunos fizeram todas as questões, basta multiplicar o valor de cada questão pelo percentual de acertos.
- Valor esperado: em probabilidade, o valor médio de um resultado quando temos apenas dois resultados possíveis (acertou/errou) é dado por \(p\times V\), onde \(p\) é a probabilidade de sucesso (percentual de acertos) e \(V\) é o valor associado ao sucesso (pontuação da questão).
- Transformação de porcentagens: 60 % corresponde a 0,60; basta dividir por 100.
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