UDESC Tarde 2009/1

O peso (P) de um corpo é a força gravitacional que o planeta exerce sobre ele, dada por

\[P = m\,g\]

onde m é a massa do corpo e g é a aceleração da gravidade local. Como a massa da pessoa não muda, para que ela tenha na Terra o mesmo peso que teria em Marte, basta que a gravidade terrestre no ponto considerado seja igual à marciana (\(g_M = 4{,}0\,\text{m/s}^2\)).

1 — Gravidade a uma altura h acima da Terra

Pelo modelo de Newton, a aceleração da gravidade a uma distância r do centro da Terra é

\[ g(r) = \dfrac{G M_T}{r^{2}} \]

onde \(M_T\) é a massa da Terra e \(G\) é a constante da gravitação universal.

Na superfície, \(r = R_T\) (raio da Terra) e \(g_0 = 9{,}8\,\text{m/s}^2\). A uma altura h, a distância ao centro é \(r = R_T + h\). Assim:

\[ g(h) = \dfrac{G M_T}{(R_T + h)^{2}} \]

2 — Igualando as gravidades

Queremos \(g(h) = g_M = 4{,}0\,\text{m/s}^2\). Dividindo essa expressão por \(g_0\), o termo \(G M_T\) cancela:

\[ \frac{g(h)}{g_0} = \frac{R_T^{2}}{(R_T + h)^{2}} \Longrightarrow \frac{4{,}0}{9{,}8} = \frac{R_T^{2}}{(R_T + h)^{2}} \]

Isolando \(R_T + h\):

\[ R_T + h = R_T\,\sqrt{\frac{9{,}8}{4{,}0}} = R_T\,\sqrt{2{,}45} \approx 1{,}565\,R_T \]

Logo

\[ h = (1{,}565 - 1)\,R_T \approx 0{,}565\,R_T \]

3 — Substituindo o raio da Terra

\(R_T = 6{,}4\times10^{6}\,\text{m}\). Então

\[ h \approx 0{,}565\,(6{,}4\times10^{6}) \approx 3{,}6\times10^{6}\,\text{m} \]

Portanto, a pessoa deve estar cerca de 3,6 × 10⁶ m acima da superfície terrestre (aproximadamente 3600 km).

Alternativa correta: B