UEMA 2015

Sejam dados por
\[f(x)=\sqrt{\dfrac{(2x^{2}-8)(x^{2}+x-6)}{x^{2}+2x-3}}\]
os valores de x nos quais a função está definida. Para que o radicando da raiz quadrada exista nos números reais, devemos impor simultaneamente

• o denominador diferente de zero;
• o valor do radicando maior ou igual a zero.

1. Fatorações

Fatorando cada polinômio:

• \(2x^{2}-8 = 2(x^{2}-4)=2(x-2)(x+2)\)
• \(x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)\)
• \(x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)\)

Substituindo, obtém-se

\[f(x)=\sqrt{\dfrac{2(x-2)(x+2)(x+3)(x-2)}{(x+3)(x-1)}}\]

Como \((x+3)\) aparece ao mesmo tempo no numerador e no denominador, ele pode ser simplificado apenas para efeito de análise do sinal; o ponto \(x=-3\), entretanto, continua proibido porque anula o denominador original.

Após a simplificação:

\[\text{radicando}=2\dfrac{(x-2)^{2}(x+2)}{(x-1)}\]

2. Condições de existência

a) Denominador original:

\[(x+3)(x-1)\neq 0\;\Rightarrow\;x\neq-3\;\text{e}\;x\neq1\]

b) Radicando não negativo:

\[2\dfrac{(x-2)^{2}(x+2)}{(x-1)}\ge0\]

O fator \(2>0\) e \((x-2)^{2}\ge0\) (sendo zero apenas em \(x=2\)). O sinal do radicando depende, portanto, apenas de \(\dfrac{x+2}{x-1}\).

3. Estudo do sinal de \((x+2)/(x-1)\)

Sejam os pontos críticos \(-2\) (anula o numerador) e \(1\) (anula o denominador).

Assim, \((x+2)/(x-1)\ge0\) em

• \((-\infty,-2]\) (inclui \(x=-2\), onde a fração vale 0);
• \((1,+\infty)\).

Lembrando as proibições \(x\neq-3\) e \(x\neq1\), temos:

Domínio:
\[D(f)=(-\infty,-2]\setminus\{-3\}\;\cup\;(1,+\infty)\]

Em linguagem de descriçao de conjunto, coincide com a alternativa A:

\[D=\{x\in\mathbb R\mid x\le-2,\,x\neq-3\;\text{ou}\;x>1\}\]