ENEM 2009
Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
156 cm³.
189 cm³.
192 cm³.
216 cm³.
540 cm³.
Resolução
Passo a Passo da Solução:
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Interpretar a estrutura da vela: A vela tem a forma geral de uma pirâmide quadrangular regular. Ela é composta por 4 blocos de parafina de mesma altura, separados por 3 espaços de 1 cm cada. A altura total da estrutura (blocos + espaços) é de 19 cm.
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Calcular a altura de cada bloco de parafina: Seja \(h_{bloco}\) a altura de cada bloco. A altura total é dada por 4 blocos mais 3 espaços: \(4 \times h_{bloco} + 3 \times 1 \text{ cm} = 19 \text{ cm}\). Resolvendo para \(h_{bloco}\): \(4 \times h_{bloco} = 19 - 3 = 16 \text{ cm}\). Portanto, \(h_{bloco} = \frac{16}{4} = 4 \text{ cm}\).
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Calcular a altura total da parafina: A altura total da parafina na vela é a soma das alturas dos 4 blocos: \(H_{parafina} = 4 \times h_{bloco} = 4 \times 4 = 16 \text{ cm}\).
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Calcular o volume total de parafina na vela original: A parafina forma uma pirâmide quadrangular regular com altura \(H_{parafina} = 16 \text{ cm}\) e aresta da base \(L = 6 \text{ cm}\). A área da base é \(A_{base} = L^2 = 6^2 = 36 \text{ cm}^2\). O volume total de parafina é dado pela fórmula do volume da pirâmide: \(V_{total} = \frac{1}{3} \times A_{base} \times H_{parafina} = \frac{1}{3} \times 36 \text{ cm}^2 \times 16 \text{ cm} = 12 \times 16 = 192 \text{ cm}^3\).
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Identificar o bloco a ser removido: O problema pede para retirar a pirâmide da parte superior. Este é o bloco do topo.
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Verificar as dimensões do bloco superior (pirâmide): A altura desse bloco é \(h_{bloco} = 4 \text{ cm}\). O problema informa que a aresta da base dessa pirâmide superior é \(l = 1,5 \text{ cm}\). (Podemos verificar a consistência usando semelhança de pirâmides: a pirâmide total de parafina tem altura 16 e base 6; a pirâmide superior tem altura 4. A razão das alturas é \(4/16 = 1/4\). A razão das arestas da base deveria ser a mesma: \(l/6 = 1/4 \Rightarrow l = 6/4 = 1,5 \text{ cm}\). Isso confirma os dados).
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Calcular o volume do bloco superior (pirâmide): A área da base da pirâmide superior é \(A_{base, topo} = l^2 = (1,5)^2 = 2,25 \text{ cm}^2\). O volume da pirâmide superior é: \(V_{topo} = \frac{1}{3} \times A_{base, topo} \times h_{bloco} = \frac{1}{3} \times 2,25 \text{ cm}^2 \times 4 \text{ cm} = \frac{1}{3} \times 9 = 3 \text{ cm}^3\).
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Calcular o volume de parafina restante: O novo volume de parafina é o volume total original menos o volume da pirâmide superior removida: \(V_{restante} = V_{total} - V_{topo} = 192 \text{ cm}^3 - 3 \text{ cm}^3 = 189 \text{ cm}^3\).
Portanto, o dono da fábrica passará a gastar 189 cm³ de parafina para fabricar a vela modificada.
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos
- Volume da Pirâmide: O volume \(V\) de uma pirâmide é calculado pela fórmula \(V = \frac{1}{3} \times A_b \times h\), onde \(A_b\) é a área da base e \(h\) é a altura da pirâmide (a distância perpendicular do vértice à base).
- Pirâmide Quadrangular Regular: É uma pirâmide cuja base é um quadrado e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base. A área da base é \(A_b = L^2\), onde \(L\) é a aresta da base.
- Semelhança de Pirâmides: Se uma pirâmide é seccionada por um plano paralelo à base, a pirâmide menor formada acima do plano é semelhante à pirâmide original. A razão entre as alturas é igual à razão entre as arestas da base correspondentes: \(\frac{h'}{h} = \frac{L'}{L}\). A razão entre os volumes é o cubo da razão de semelhança: \(\frac{V'}{V} = (\frac{h'}{h})^3 = (\frac{L'}{L})^3\).
Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
