FAMERP 2020

Solução passo a passo

1. Identificação das retas. As duas retas têm mesma inclinação (coeficiente angular 2), logo são paralelas:
   \[r_1: y = 2x - 2\] \[r_2: y = 2x + 2\]
2. Dois vértices sobre \(r_1\). Chamemos esses pontos de \(A\) e \(B\). Assim, o lado \(\overline{AB}\) coincide com a própria reta \(r_1\).
3. Terceiro vértice sobre \(r_2\). Chamemos de \(C\).
   Como \(r_1\) e \(r_2\) são paralelas, a distância de qualquer ponto de \(r_2\) até \(r_1\) é sempre a mesma.
4. Altura de \(\triangle ABC\). Num triângulo equilátero a altura traçada do vértice \(C\) é perpendicular ao lado oposto \(\overline{AB}\). Como \(\overline{AB}\) está em \(r_1\), essa altura é exatamente a distância entre as retas paralelas.
5. Distância entre retas paralelas.
   Escrevendo as retas na forma geral \(Ax+By+C=0\):
   \[r_1: 2x - y - 2 = 0\] \[r_2: 2x - y + 2 = 0\]
   Para retas paralelas desta forma, a distância \(d\) é dada por
   \[d = \frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
   Logo,
   \[d = \frac{|2 - (-2)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}\]
6. Conclusão. A altura do triângulo equivale a essa distância:
   \[h = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}\]

Portanto, a altura do triângulo é \(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\).